[論文レビュー] Modular functor and representation theory of \hat{sl}_{2} at a rational level

B. Feigin. F. Malikov|ArXiv.org|Nov 18, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、Kac-Wakimotoの許容表現と一般化されたWeyl加群を用いて、有理数レベルにおける$\hat{\frak{sl}}_2$に対する新しいモジュラー関手を導入し、パラボリックなランク2バンドルのモジュライ空間上に特異${\cal D}$-加群を構成する。主な結果は、ヴェルリンデ代数を$\frak{osp}(1|2)$および$\frak{sl}_2$の有限次元表現のグロチェンドッケの環の積として実現するヴェルリンデ型の融合則の公式であり、標準的なWZW融合を許容表現の場合に一般化する。

ABSTRACT

We define a new modular functor based on Kac-Wakimoto admissible representations and the corresponding D-module on the moduli space of rank 2 vector bundles with parabolic structure. A new fusion functor arises which is related to representation theory of the pair "osp(1|2),sl(2)" in the same way as the fusion functor for the Virasoro algebra is related to representation theory of the pair "sl(2),sl(2)"

研究の動機と目的

• 有理数レベルにおける$\widehat{\frak{sl}}_2$のKac-Wakimotoの許容表現に基づく新しいモジュラー関手を定義すること。
• パラボリック構造をもつランク2ベクトルバンドルのモジュライ空間上に、整数最高重みではなく許容最高重みを用いた特異${\cal D}$-加群を構成すること。
• $\frak{osp}(1|2)$と$\frak{sl}_2$のペアに関連する新しい融合関手を定義し、これはVirasoroの融合関手と$(\frak{sl}_2, \frak{sl}_2)$の関係に類似している。
• 許容表現におけるヴェルリンデ代数の構造定数が負になるというパズルを、正しいテンソルカテゴリを同定することで解消すること。
• 球面に3つの穴があいた場合への還元を用いて、コインvariants空間の次元を計算する組み合わせ的アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 一般化されたWeyl加群を、特異ベクトルによるVerma加群の商として定義し、$(V_r^\epsilon, V_s)$（$r,s \geq 0$, $\epsilon \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$）でパrameter化する。
• 整数最高重みの代わりに許容最高重みを用いて、ランク2バンドル、穴、ファイバー上の直線をもつ穴あき曲面に有限次元ベクトル空間を割り当てるモジュラー関手を構成する。
• パラボリックバンドルのモジュライ空間上に、ヒチンのグローバルナイルポテンツ・コーンに関連する集合上で特異な新しい${\cal D}$-加群を定義する。
• ${\cal D}$-加群が無限遠点で正則特異点をもち、一般化されたファイバー次元が3つの穴あき球面へのピンチィングにより計算可能であることを証明する。
• スクリーニング作用素$R_0, R_1$を用いて、一般化されたWeyl加群間のすべての頂点作用素を生成し、標準的スクリーニング$S$と組み合わせて、すべての相関関数を生成する。
• 積分作用素$\int t^{-\alpha-1} \exp(-Xt) \Psi_{\text{old}} dt$の形をとる、Knizhnik-Zamolodchikov型系の解を構成し、Varchenko-Schechtmanの相関関数を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数レベルにおける$\widehat{\frak{sl}}_2$の許容表現へのモジュラー関手を、整数表現からどのように拡張できるか？
• RQ2 許容表現の融合則の構造は何か？ これは標準的なWZWモデルとどのように異なるか？
• RQ3 パラボリックバンドルのモジュライ空間上の${\cal D}$-加群は、特異点やモノドロミーに関してどのように振る舞うか？
• RQ4 $\frak{osp}(1|2)$と$\frak{sl}_2$のペアは、融合則の表現論的解釈において果たす役割は何か？
• RQ5 スクリーニング作用素と積分変換を用いて、許容表現の相関関数を体系的に生成できるか？

主な発見

• 許容表現の$\widehat{\frak{sl}}_2$のヴェルリンデ代数は、$\frak{osp}(1|2)$および$\frak{sl}_2$の有限次元表現のグロチェンドッケの環の積と同型である。
• 一般化されたWeyl加群の融合則は、$ (V_{r_1}^\alpha, V_{s_1}) \circ (V_{r_2}^\beta, V_{s_2}) = \sum_{k=|r_1 - r_2|}^{r_1 + r_2} (V_k^{\alpha + \beta}, V_{s_1} \otimes V_{s_2}) $で与えられ、和の項に符号が交互に現れる。
• 構成された${\cal D}$-加群は、ヒチンのグローバルナイルポテンツ・コーンに関連する集合上で特異であり、標準的構成とは区別される。
• 3つの加群が球面上にあるときのコインバリアント空間の次元は、無限次元設定において純粋な線形代数的計算により計算可能である。
• スクリーニング作用素$R_0, R_1$は、一般化されたWeyl加群間のすべての頂点作用素を生成し、標準的スクリーニング$S$と組み合わせて、すべての相関関数を生成する。
• Knizhnik-Zamolodchikov型系の解は、積分作用素$\int t^{-\alpha-1} \exp(-Xt) \Psi_{\text{old}} dt$の形で与えられ、有理数レベルの場合に水平切断であることが示された。