[논문 리뷰] Modular Graph Functions

Eric D’Hoker|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 21.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 38인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 장기적인 초월함수의 구조를 이해하기 위한 프레임워크로 단일값 유형의 타원 다중다중로그함수를 도입한다. 이는 종수 1 초월스트링 앰리튜드에서 나타나는 비홀로모르픽 모듈라 형식인 모듈라 그래프 함수를 설명하는 데 기여한다. 논문은 모듈라 그래프 함수가 타원곡선의 항등원에서 평가된 단일값 유형의 타원 다중지저항값임을 보이며, 유리수 계수를 가짐을 입증함으로써 그 복잡한 대수적 관계가 타원 다중로그함수의 항등식에서 기인함을 밝혀낸다. 핵심 결과는 이러한 함수들을 알려진 특수값으로 체계적으로 축소함으로써, 단일값 다중지저항값의 유리수 배를 포함함을 보여준다.

ABSTRACT

In earlier work we studied features of non-holomorphic modular functions associated with Feynman graphs for a conformal scalar field theory on a two-dimensional torus with zero external momenta at all vertices. Such functions, which we will refer to as modular graph functions, arise, for example, in the low energy expansion of genus-one Type II superstring amplitudes. We here introduce a class of single-valued elliptic multiple polylogarithms, which are defined as elliptic functions associated with Feynman graphs with vanishing external momenta at all but two vertices. These functions depend on a coordinate, $ζ$, on the elliptic curve and reduce to modular graph functions when $ζ$ is set equal to $1$. We demonstrate that these single-valued elliptic multiple polylogarithms are linear combinations of multiple polylogarithms, and that modular graph functions are sums of single-valued elliptic multiple polylogarithms evaluated at the identity of the elliptic curve, in both cases with rational coefficients. This insight suggests the many interrelations between modular graph functions (a few of which were established in earlier papers) may be obtained as a consequence of identities involving multiple polylogarithms, and explains an earlier observation that the coefficients of the Laurent polynomial at the cusp are given by rational numbers times single-valued multiple zeta values.

연구 동기 및 목표

• 종수 1 초월스트링 앰리튜드에서 나타나는 모듈라 그래프 함수를 위한 통합된 프레임워크를 수립하기 위해.
• 타원곡선을 위한 단일값 유형의 타원 다중다중로그함수를 도입하여 단일값 다중다중로그함수의 일반화로 삼기 위해.
• 모듈라 그래프 함수가 타원함수의 항등원 점 ζ = 1에서 평가된 특수값임을 보여주기 위해.
• 모듈라 그래프 함수 간의 대수적 관계가 타원 다중로그함수의 항등식의 결과임을 설명하기 위해.
• 모듈라 그래프 함수의 코어스에서의 로렌츠 계수들이 단일값 다중지저항값의 유리수 배임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 외부 운동량이 두 정점 이외에는 모두 0인 피타고라스 그래프를 가진 타원곡선의 좌표 ζ를 가진 함수로서 단일값 유형의 타원 다중다중로그함수를 정의한다.
• 모듈라 그래프 함수를 ζ = 1에서의 이러한 타원함수의 평가로 표현함으로써 직접적인 대응관계를 확립한다.
• 부분분수 항등식과 적분 표현을 사용하여 제약 조건이 있는 다중합을 다중다중로그함수의 조합으로 축소한다.
• HyperInt 패키지를 활용하여 축소 및 항등식을 검증하며, 특히 C1,1,1(q) 함수에 대해 검증한다.
• 에이히러 적분 구조와 공변미분을 적용하여 함수를 에이젠슈타인 급수와 해석적 모듈라 형식과 연결한다.
• 셔플 대수의 구조를 활용하여 다중합을 다중다중로그함수 형태로 표현함으로써 체계적인 평가를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈라 그래프 함수는 타원 곡선 위의 다중로그함수적 구조와 어떻게 체계적으로 관련될 수 있는가?
• RQ2 모듈라 그래프 함수와 단일값 유형의 타원 다중다중로그함수 사이의 정확한 대수적 관계는 무엇인가?
• RQ3 모듈라 그래프 함수의 코어스에서의 로렌츠 전개 계수들이 왜 단일값 다중지저항값의 유리수 배로 나타나는가?
• RQ4 모듈라 그래프 함수 간의 복잡한 대수적 항등식은 타원 다중로그함수의 항등식으로부터 유도될 수 있는가?
• RQ5 해석적 모듈라 형식의 에이히러 적분은 이러한 함수의 구조에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• C1,1,1(q) 모듈라 그래프 함수는 정확히 질량 6의 에이젠슈타인 급수 E3(q)와 ζ(3)의 합과 같으며, q 전개에서 φ0(q) = 0 및 φ1(q) = 0임을 검증함으로써 입증된다.
• 모듈라 그래프 함수가 ζ = 1에서 평가된 단일값 유형의 타원 다중지저항값의 유리수 선형조합임을 입증한다.
• 다중합 La,b;c(x, y)를 부분분수 항등식을 통해 다중다중로그함수로 축소하며, HyperInt 패키지를 사용하여 검증한다.
• 함수 C1,1,1(q)는 다중다중로그함수의 실수부와 에이히러 적분의 합으로 표현되며, G6(q)의 두 에이히러 적분 간의 차이가 모듈라 함수를 생성함을 보여준다.
• x = y = 1일 때 L1,1;1(x, y) = Li1,2(y/x, x) + Li1,2(x/y, y)의 항등식은 오일러의 관계 ζ(1,2) = ζ(3)를 재현하며, 기존의 지저항 항등식과의 일致성을 확인한다.
• 논문은 종수 1 앰리튜드의 저에너지 전개에서 계수들이 단일값 다중지저항값의 유리수 배임을 입증하며, 타원 다중로그함수의 항등식을 통해 그 대수적 구조를 설명한다.