[論文レビュー] Modularity and integral points on moduli schemes

Rafael von Känel|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、モジュラー性定理、アラケロフ理論、同種推定を用いて、楕円曲線およびGL₂型のアーベル多様体のモジュライスキーム上の整数点の有効有限性結果を確立する。ディオファントス近似に依存せずに、S単数方程式およびモーデル方程式の解に対する明示的な高さ上限を提供し、志村＝田島予想およびセールのモジュラー性予想に基づく新しい有効な手法を提示する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to give some new Diophantine applications of modularity results. We use the Shimura-Taniyama conjecture to prove effective finiteness results for integral points on moduli schemes of elliptic curves. For several fundamental Diophantine problems (e.g. $S$-unit and Mordell equations), this gives an effective method which does not rely on Diophantine approximation or transcendence techniques. We also combine Faltings' method with Serre's modularity conjecture, isogeny estimates and results from Arakelov theory, to establish the effective Shafarevich conjecture for abelian varieties of (product) GL$_2$-type. In particular, we open the way for the effective study of integral points on certain higher dimensional moduli schemes.

研究の動機と目的

• モジュラー性定理を用いて、楕円曲線のモジュライスキーム上の整数点の有効有限性結果を確立すること。
• ディオファントス近似や超越論的手法に依存せずに、S単数方程式およびモーデル方程式を解く有効な手法を提供すること。
• ファルツィングスの方法、セールのモジュラー性予想、および同種推定を用いて、GL₂型アーベル多様体への有効有限性を拡張すること。
• ヒルベルトモジュラー多様体などの高次元モジュライスキーム上の整数点の有効な研究への道を開くこと。

提案手法

• 志村＝田島予想を用いて、S単数方程式の解の有効な高さ上限を導出する。
• P¹から3点を除いたスキームにパラメトライズされる楕円曲線に対するレベル構造の忘却を介したパーシュイン構成を適用する。
• ファルツィングスの方法とセールのモジュラー性予想、アラケロフ理論を組み合わせて、安定ファルツィングス高さを制御する。
• 同種推定とウェイル制限を用いて、数体上のアーベル多様体をQ上のGL₂型アーベル多様体に帰着する。
• rad(N_S)による導手および判別式の制御を用いて、関連するアーベル多様体のファルツィングス高さを有効に境界付ける。
• セイバーバーグのGL₂型アーベル多様体に関する結果を用いて、問題を既知の高さに関する有効な境界に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー性定理から、楕円曲線のモジュライスキーム上の整数点の有効有限性結果を導出可能か？
• RQ2 ディオファントス近似や超越論的手法に依存せずに、S単数方程式を有効に解けるか？
• RQ3 モジュラー性およびアラケロフ理論を用いて、GL₂型アーベル多様体に対する有効シャファレヴィチ予想を確立できるか？
• RQ4 ヒルベルトモジュラー多様体などの高次元モジュライスキーム上の整数点の研究をどのように有効化できるか？

主な発見

• S単数方程式の任意の解 (x,y) に対して、h(x), h(y) ≤ (3/2)n_S(log n_S)² + 65 が成り立ち、ここで n_S = 2⁷N_S である。
• モーデル方程式 y² = x³ + a のすべての解に対して、h(x), h(y) ≤ h(a) + 4a_S(log a_S)² が成り立ち、ここで a_S = 2⁸3⁵N_S²∏p^{min(2,ord_p(a))} である。
• Q上のGL₂型アーベル多様体に対して、有効シャファレヴィチ予想が成り立ち、高さの境界は導手および次数に有効に依存する。
• 高さの境界における定数は次数 d および次元 g に関して二重指数関数的に増加するが、特別な場合では指数関数的増加にまで削減可能である。
• 非単純アーベル多様体への一般化においては、主要定理を新しいファルツィングス高さに関する有効な境界に置き換えることで可能となる。