[論文レビュー] Modularity of Relatively Rational Vertex Algebras and Fusion Rules of Principal Affine W-Algebras

Tomoyuki Arakawa, Jethro van Ekeren|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、相対的有理型およびコフィニットネスの枠組みを用いて、族的な共形構造を備えた頂点（超）代数のトレース関数のモジュラー不変性を確立する。BRST還元とヴェルリンク型の公式を用いて、主 affine W代数の明示的なモジュラー S行列変換および結合則を導出し、lisseでないが相対的に有理的な設定へとモジュラー性を拡張する。

ABSTRACT

We study modularity of the characters of a vertex (super)algebra equipped with a family of conformal structures. Along the way we introduce the notions of rationality and cofiniteness relative to such a family. We apply the results to determine modular transformations of trace functions on admissible modules over affine Kac-Moody algebras and, via BRST reduction, trace functions on minimal series representations of principal affine W-algebras.

研究の動機と目的

• 変化する共形構造を備えた頂点代数のための相対的有理型およびコフィニットネスの枠組みを構築すること。
• Zhuのモジュラー性定理を、C2-コフィニットでないが、ある現在 h に対して相対的にコフィニットであるような頂点代数へ一般化すること。
• アフィン Kac-Moody代数の許容的モジュール上のトレース関数のモジュラー S行列変換を計算すること。
• BRST還元を用いて、主 affine W代数の最小系列表現の結合則を導出すること。
• 相対的モジュラー性枠組みを用いて、主許容的レベルにおける W代数へのヴェルリンク公式の一般化を実行すること。

提案手法

• 分解 V = V⁰ ⊕ V⁺ を用いて、相対的有理型およびコフィニットネス条件を導入し、商 R^rel(V) = V / (V⁰_{(-2)}V⁰ + V_{(-1)}V⁺) を定義する。
• 中立モード L₀(h) = L₀ + z h₀ を含むトレース関数 F_M(τ,z|u) を定義し、h-安定モジュール上のスーパー跡を用いる。
• 小さな |z| および上半平面内の τ に対して F_M(τ,z|u) の絶対収束性を確立し、モジュラー性を保証する。
• BRST還元を適用して、アフィン Kac-Moody代数上のトレース関数と主 W代数上のそれらを関連付ける。
• 一般化されたヴェルリンク公式と明示的な特徴関数の公式を用いて、モジュラー S行列変換を導出する。
• I_{p,q} と W代数の中心的特徴の間の双対性を用いて、S行列係数をウェイル群の軌道の和および内積で表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C2-コフィニットでないが、ある現在 h を通じて族的な共形構造を備えた頂点代数に対して、どのようにしてモジュラー性を相対的枠組みで拡張できるか？
• RQ2 相対的設定下で、アフィン Kac-Moody代数の許容的モジュール上のトレース関数の S行列の構造は何か？
• RQ3 W代数上のトレース関数のモジュラー変換は、どのようにしてアフィン Kac-Moodyモジュールの BRST 還元から生じるか？
• RQ4 主 affine W代数の最小系列表現の結合則の明示的形は何か？
• RQ5 相対的モジュラー性を用いて、主許容的レベルにおける W代数へのヴェルリンク公式を一般化できるか？

主な発見

• トレース関数 F_M(τ,z|u) は、小さな z に対して絶対収束し、相対的設定下でモジュラー不変性を示す。
• W代数の S行列は、ウェイル群の軌道の和として明示的に計算され、内積およびレベルパラメータを含む指数因子を含む。
• 非可約 W代数モジュールの結合則は、基礎となるアフィンリー代数の結合則の積として与えられる：N_{(λ,λ'),(μ,μ')}^{(ν,ν')} = N_{λ,μ}^ν N_{λ',μ'}^{ν'}。
• トレース関数 φ_{λ,λ'}(τ|u) のモジュラー S変換は、補題 8.4 を用いて導出され、以前の結果を任意の u ∈ V へ一般化する。
• R^rel(V) が有限次元であるという相対的コフィニットネス条件は、V が C2-コフィニットでなくてもモジュラー性を保証するのに十分である。
• この構成は、ヴェルリンク公式と BRST 還元を用いて、主許容的レベルにおける W代数の結合則を体系的に計算する手法を提供する。