[論文レビュー] Moduli of parabolic connections on a curve and Riemann-Hilbert correspondence

Michi-aki Inaba|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、特異点を持つ曲線上のパラボリック接続のモジュライ空間から、基本群の表現のモジュライ空間へのリーマン＝ヒルベルト対応が、所定の局所モノドロミー情報をもつものに対して、固有で全射かつビメルモーフィックな全単射を誘導することを確立する。主な結果は、このビメルモーフィズムの性質とモジュライ空間上のfoliation構造を用いて、等モノドロミー変形における幾何学的パンルベ性を確認する。

ABSTRACT

Let $(C,\bt)$ ($\bt=(t_1,...,t_n)$) be an $n$-pointed smooth projective curve of genus $g$ and take an element $\blambda=(λ^{(i)}_j)\in\C^{nr}$ such that $-\sum_{i,j}λ^{(i)}_j=d\in\mathbf{Z}$. For a weight $\balpha$, let $M_C^{\balpha}(\bt,\blambda)$ be the moduli space of $\balpha$-stable $(\bt,\blambda)$-parabolic connections on $C$ and let $RP_r(C,\bt)_{\ba}$ be the moduli space of representations of the fundamental group $π_1(C\setminus\{t_1,...,t_n\},*)$ with the local monodromy data $\ba$ for a certain $\ba\in\C^{nr}$. Then we prove that the morphism $\RH:M_C^{\balpha}(\bt,\blambda) ightarrow RP_r(C,\bt)_{\ba}$ determined by the Riemann-Hilbert correspondence is a proper surjective bimeromorphic morphism. As a corollary, we prove the geometric Painlevé property of the isomonodromic deformation defined on the moduli space of parabolic connections.

研究の動機と目的

• 特異点を持つ曲線上のパラボリック接続のモジュライ空間と基本群の表現のモジュライ空間との間に幾何学的対応を確立すること。
• これらのモジュライ空間間のリーマン＝ヒルベルト写像が固有で全射かつビメルモーフィックであることを証明すること。
• モジュライ空間の構造とそのfoliationを用いて、等モノドロミー変形における幾何学的パンルベ性を示すこと。

提案手法

• 滑らかで射影的な曲線 $ C $ に $ n $ 個のマークされた点を持つ場合の、$ \alpha $-安定な $ (\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) $-パラボリック接続のモジュライ空間 $ M_C^\alpha(\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) $ を構成する。
• 基本群 $ \pi_1(C \setminus \{t_1, \dots, t_n\}, *) $ の表現のモジュライ空間 $ RP_r(C, \mathbb{t})_\alpha $ を定義する。ただし、局所モノドロミー情報 $ \alpha $ を固定する。
• リーマン＝ヒルベルト対応を用いて、写像 $ \mathop{\bf RH}\nolimits: M_C^\alpha(\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) \to RP_r(C, \mathbb{t})_\alpha $ を定義し、これがビメルモーフィックであることを示す。
• 写像による相対接束の引き戻しを分析し、パラボリック接続のモジュライ空間上にfoliation $ \mathcal{F}_M $ を定義する。
• $ \mathop{\bf RH}\nolimits $ による $ \mathcal{F}_M $ の像が、表現のモジュライ空間上に定義されたfoliation $ \mathcal{F}_R $ と一致することを証明する。
• 固有性とコンパクト性を用いたパスの持ち上げ技術を適用し、水平な持ち上げが存在することを示し、幾何学的パンルベ性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラボリック接続のモジュライ空間と表現のモジュライ空間との間のリーマン＝ヒルベルト対応は、固有で全射かつビメルモーフィックな写像か？
• RQ2 パラボリック接続のモジュライ空間上のfoliation構造は、リーマン＝ヒルベルト写像の下で、表現のモジュライ空間上のfoliationと一致するか？
• RQ3 等モノドロミー変形の幾何学的パンルベ性は、これらのモジュライ空間上でのリーマン＝ヒルベルト対応のビメルモーフィック性から導けるか？

主な発見

• リーマン＝ヒルベルト写像 $ \mathop{\bf RH}\nolimits: M_C^\alpha(\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) \to RP_r(C, \mathbb{t})_\alpha $ は、固有で全射かつビメルモーフィックな写像である。
• 写像 $ \mathop{\bf RH}\nolimits $ による相対接束の引き戻しは、パラボリック接続のモジュライ空間上にfoliation $ \mathcal{F}_M $ を定義する。
• $ \mathop{\bf RH}\nolimits $ による $ \mathcal{F}_M $ の像は、表現のモジュライ空間上に定義されたfoliation $ \mathcal{F}_R $ と一致する。
• パラボリック接続のモジュライ空間上でのパスの水平持ち上げの存在は、等モノドロミー変形における幾何学的パンルベ性を確認する。
• 構成により、基底空間上の任意のパスは局所的にfoliationの葉に持ち上げられ、固有性とコンパクト性により、この持ち上げは全パスにまで拡張可能である。