[論文レビュー] Moduli of Representations I. Projections from Quivers

Jiarui Fei|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、クウェイバーからの直交射影を用いて、クウェイバー表現のモジュライ空間のファンクター的で被約的幾何的アプローチを導入する。双モジュールファンクターを介した有理写像を構成することで、穏やかな条件下で、GIT商同士の誘導写像がブローアップであることを証明し、非常に明示的なアーリューブ・イデアルの引き戻しの公式を提供する。Fano多様体と正則除集合への応用を含む。

ABSTRACT

We use categorical method and birational geometry to study moduli spaces of quiver representations. From certain "representable" functor, we construct a birational transformation from the moduli space of representations of one quiver to another new quiver with one vertex less. The dimension vector and the stability for the new moduli are determined functorially. We introduce several relative notions of stability to study such a birational transformation. The essential case is proven to be the usual blow-ups. Moreover, we compare the induced ample divisors for the two moduli. We illustrate this theory by various examples.

研究の動機と目的

• 双モジュールと直交射影を用いたファンクター的技法を開発し、クウェイバー表現のモジュライ空間間の被約的変換を構成すること。
• このような射影に関して、安定性条件とモジュライ空間がどのように変化するかを理解すること、特にウォール・クロッシングとGIT商との関係を含む。
• 誘導された被約的写像の下で、非常に明示的なアーリューブ・イデアルの引き戻しの公式を確立し、表現論と代数幾何学を結びつけること。
• 被約的変換の本質的ケースが標準的ブローアップであることを示し、例外的除集合とブローアップの基底集合の明示的幾何的記述を行うこと。
• モジュライ空間の反正則除集合が正則クラスとどのように関係するかを示し、穏やかな条件下でモジュライ空間がFanoであることを証明すること。

提案手法

• 例外的表現 E に関連する右直交射影ファンクター RQE を用い、頂点数が1つ少ない新たなクウェイバー QE を得る。
• Q の α次元 σβ-安定表現のモジュライ空間から、QE の α′次元 σ′β∨E-安定表現のモジュライ空間への有理写像 ϕE を構成する。
• 幾何的不変理論（GIT）を用いて、半安定部分集合の商としてモジュライ空間を構成し、ファンクター的構成を用いて安定性条件を関連付ける。
• 半不変式環と G-線形化の理論を用いて、モジュライ空間上のアーリューブ除集合を定義・比較する。
• ルナのスライス定理と一般化されたオイラー列を用いて、正則除集合を分析し、余次元の仮定の下でFano性を検証する。
• サザデウスのGITの変動に関する結果を応用し、本質的ケースで被約的変換がブローアップであることを示し、例外的除集合と基底集合の明示的記述を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交射影ファンクターが、クウェイバー表現のモジュライ空間間で被約的写像を誘導する条件は何か？
• RQ2 安定性条件は射影ファンクターの下でどのように変化するのか？ また、安定性空間内のウォールと被約的幾何学の関係は何か？
• RQ3 誘導された有理写像の幾何的性質は何か？ 特に、それがブローアップである場合、ブローアップの基底集合と例外的除集合は何か？
• RQ4 モジュライ空間上の誘導されたアーリューブ除集合どうしの関係は何か？ ターゲットのモジュライ空間上の除集合の引き戻しの公式を導出できるか？
• RQ5 クウェイバー表現のモジュライ空間がいつFanoになるのか？ また、反正則除集合は正則クラスとどのように関係するか？

主な発見

• 直交射影によって誘導される有理写像 ϕE は被約的であり、元のクウェイバーの半安定部分集合が、ターゲットのモジュライ空間内の像に同型に写される。
• 穏やかな条件下で、ϕE は、安定性パラメータが1つのウォールをただ1度だけ通過する場合、ターゲットのモジュライ空間の次元が −⟨ǫ, α − ǫ⟩Q の部分多様体に沿ったブローアップである。
• ブローアップの例外的除集合は、E を商として持つ表現の商と同型であり、ブローアップの基底集合は、E を部分表現として持つ表現の商と同型である。
• ターゲットのモジュライ空間上のアーリューブ除集合 Dβ∨ の引き戻しは、Dβ = ϕ∗E(Dβ∨) − ⟨β, ǫ⟩QEβ を満たす。ここで QEβ は例外的除集合である。
• 反正則安定性のケースでは、余次元2の条件 ⊛ の下で、モジュライ空間上の反正則除集合は正則クラスと一致し、モジュライ空間がFanoであることが示される。
• P² の1点でのブローアップや、P³ におけるねじれ立方曲線に沿ったブローアップといった具体的な例では、指定された基底点を持つ線形系 |O(d)| が除集合類と一致し、正則切断の空間の次元が明示的に計算される（例：h⁰ = 5 または 10）。