[論文レビュー] Moduli of stable maps with fields

Renata Picciotto|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、滑らかで射影的多様体 X、ベクトル bundle E、正則切断 s からなる三つ組 (X, E, s) に対して、場を備えた安定写像のモジュライ空間を導入する。このモジュライ空間上で、s の零点集合への安定写像の仮想基本類と一致する、コセクション局所化仮想類を構成する。これは、量子レフシェッツ超平面原理を一般化し、射影的余基本空間を持つドレーヌ–ムーディスタックへのねじれ安定写像へと拡張する。

ABSTRACT

Given a triple (𝑋,𝘌,𝘴) of a smooth projective variety, a rank 𝘳 vector bundle and a regular section, we construct a moduli of stable maps to 𝑋 with fields together with a cosection localized virtual class. We show the class coincides up to a sign with the virtual fundamental class on the moduli space of stable maps to the vanishing locus 𝘡 of 𝘴. We show that this gives a generalization of the Quantum Lefschetz hyperplane principle, which relates the virtual classes of the moduli of stable maps to 𝑋 and that of the moduli of stable maps to 𝘡 if the bundle 𝘌 is convex. We further generalize this result by considering (𝒳,ɛ,s) where 𝒳is a smooth Deligne--Mumford stack with projective coarse moduli space. In this setting, we can construct a moduli space of twisted stable maps to 𝒳with fields. This moduli space will have (possibly disconnected) components of constant virtual dimension indexed by 𝓃-tuples of components of the inertia stack of 𝒳. We show that its cosection localized virtual class on each component agrees up to a sign with the virtual fundamental class of a corresponding component of the moduli of twisted stable maps to ƶ=s=0. This generalizes similar comparison results of Chang--Li, Kim--Oh and Chang--Li and presents a different approach from Chen--Janda--Webb.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的多様体 X にベクトルバンドル E と正則切断 s を備えた場合の、場を備えた安定写像のモジュライ空間を構成すること。
• このモジュライ空間上で、s の零点集合 Z = s⁻¹(0) への安定写像の仮想基本類に関連するコセクション局所化仮想類を定義すること。
• 特に E が凸である場合に、安定写像に場を備えた設定において、量子レフシェッツ超平面原理を一般化すること。
• 射影的余基本空間を持つ滑らかなドレーヌ–ムーディスタック 𝒳 に対して、ねじれ安定写像に場を備えた設定にこの構成を拡張すること。
• 各モジュライ空間の成分において、コセクション局所化仮想類が、ねじれ安定写像の Z へのモジュライ空間の対応する成分の仮想基本類と符号を除いて一致することを示すこと。

提案手法

• ベクトルバンドル E の切断 s の情報を符号化するための「場」を追加した X への安定写像のモジュライ空間を構成する。
• 正則切断 s によって誘導される障害層のコセクションを用いて、局所化された仮想基本類を定義する。
• コセクション局所化技術を適用し、場を備えたモジュライ空間上の仮想類と、零点集合 Z = s⁻¹(0) へのモジュライ空間上の仮想基本類との関係を確立する。
• ねじれ安定写像とインertia スタックの成分のタプルによって添え字づけられる成分を考察することで、ドレーヌ–ムーディスタックへの構成を一般化する。
• インertia スタックの構造を用いて、仮想次元が一定である成分にモジュライ空間を分解する。
• 各成分において、コセクション局所化仮想類が、Z = s⁻¹(0) へのねじれ安定写像のモジュライ空間の対応する成分の仮想基本類と符号を除いて一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則切断 s を備えたベクトルバンドル E に対する多様体 X への安定写像のモジュライ空間に対して、補助的な場を用いて仮想基本類を構成する方法は何か？
• RQ2 場を備えたモジュライ空間上のコセクション局所化仮想類は、零点集合 Z = s⁻¹(0) への安定写像のモジュライ空間上の仮想基本類とどのように関係するか？
• RQ3 E が凸である場合に、安定写像に場を備えた設定において、量子レフシェッツ超平面原理を一般化できるか？
• RQ4 射影的余基本空間を持つ滑らかなドレーヌ–ムーディスタック 𝒳 とベクトルバンドル ɛ の切断 s に対して、この構成はどのように拡張されるか？
• RQ5 ねじれ安定写像に場を備えたモジュライ空間の成分と、Z へのねじれ安定写像のモジュライ空間の対応する成分との関係は何か？

主な発見

• 場を備えた安定写像のモジュライ空間上のコセクション局所化仮想類は、零点集合 Z = s⁻¹(0) への安定写像のモジュライ空間上の仮想基本類と符号を除いて一致する。
• この構成は、特にベクトルバンドル E が凸である場合に、安定写像に場を備えた設定における量子レフシェッツ超平面原理を一般化する。
• 射影的余基本空間を持つ滑らかなドレーヌ–ムーディスタック 𝒳 に対して、ねじれ安定写像に場を備えたモジュライ空間は、𝒳 のインertia スタックの成分の n-重組み合わせによって添え字づけられる、仮想次元が一定の成分に分解される。
• 各成分において、コセクション局所化仮想類は、Z = s⁻¹(0) へのねじれ安定写像のモジュライ空間の対応する成分の仮想基本類と符号を除いて一致する。
• このアプローチは、Gromov–Witten 理論における仮想類の比較のための新たな手法を提供し、Chen–Janda–Webb の枠組みとは異なる。
• 結果は、Chang–Li、Kim–Oh、Chang–Li による以前の比較定理を、場とスタック的幾何学の文脈で拡張・統合する。