[論文レビュー] Moduli spaces of curves with linear series and the slope conjecture

Deepak Khosla|ArXiv.org|Aug 1, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、線形系列を備えた曲線のモジュライ空間 $\mathcal{G}^r_d$ を研究し、$\widetilde{\mathcal{M}}_g$ への自然な写像による除数類のプッシュフォワードを計算することで、ハリス＝モリソンのスロープ予想に対する新しい反例を構成する。$g=21$, $r=6$, $d=24$ の場合、二次曲面の上にある曲線の系列はスロープ 7 の除数をなすが、これは予想される $6 + \frac{12}{22} \approx 6.545$ よりも小さいため、スロープ予想に反する。この構成は、ブリル＝ノーアー数 $\rho = 0$ の場合に無限個の潜在的反例へ一般化可能である。

ABSTRACT

We describe the moduli space G^r_d of triples consisting of a curve C, a line bundle L on C of degree d, and a linear system V on L of dimension r. This moduli space extends over a partial compactification { ilde M_g} of M_g inside {\bar M_g}. For the proper map h : G^r_d --> ilde M_g, we compute the push-forward on Chow 1-cocyles in the case where h has relative dimension zero. As a consequence we obtain another counterexample to the Harris-Morrison slope conjecture as well as an infinite sequence of potential counterexamples.

研究の動機と目的

• 曲線に線形系列が存在する除数を用いた $\mathcal{M}_g$ の双有理幾何の研究。
• $\mathcal{G}^r_d$ のモジュライ空間上の除数類のプッシュフォワードを $\widetilde{\mathcal{M}}_g$ に計算すること。
• スロープが小さい新しい除数類の構成を通じて、ハリス＝モリソンのスロープ予想を検証すること。
• ブリル＝ノーアー数 $\rho = 0$ の場合に、この構成を無限個の潜在的反例へ一般化すること。

提案手法

• 曲線 $C$、次数 $d$ の線形束 $L$、次元 $r+1$ の線形系統 $V \subset H^0(L)$ の三つ組 $(C, L, V)$ をパラメトライズするモジュライ空間 $\mathcal{G}^r_d$ を定義する。
• $\mathcal{G}^r_d$ を $\overline{\mathcal{M}}_g$ の部分コンパクト化 $\widetilde{\mathcal{M}}_g \subset \overline{\mathcal{M}}_g$ に拡張し、安定曲線を含める。
• $\operatorname{Sym}^k V \to H^0(L^k)$ が核を持つような $\widetilde{D} \subset \mathcal{G}^r_d$ の系列を研究し、これは $k$ 次の超曲面の上にある曲線に対応する。
• 相対次元ゼロの仮定を用いて、$\mathcal{G}^r_d$ 上の交線論を用いてプッシュフォワード $\eta_*[\widetilde{D}]$ を計算する。
• 主定理を $g=21$, $r=6$, $d=24$, $k=2$ の場合に適用し、除数 $D^{6,2}_{24,21}$ の類を計算する。
• blown-up $\mathbb{P}^2$ 上の線形系統に滑らかな曲線が存在することを確認することで、除数が有効的かつ除数的であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathfrak{g}^6_{24}$-埋め込みにおける二次曲面の上にある曲線の系列は、$\mathcal{M}_{21}$ に除数をなすか？
• RQ2 この除数の $\operatorname{Pic}(\mathcal{M}_{21}) \otimes \mathbb{Q}$ 内での類は何か？
• RQ3 この除数のスロープは、ハリス＝モリソンが予想した $6 + \frac{12}{22}$ より小さいか？
• RQ4 この構成は、$\rho = 0$ かつ $k=2$ を満たす無限個の曲線の族へ一般化可能か？
• RQ5 これらの系列は常に除数的であり、すべてがスロープ予想の反例を提供するか？

主な発見

• 除数 $D^{6,2}_{24,21}$ は除数的であり、スロープ 7 をもち、ハリス＝モリソンの予想される境界値 $6 + \frac{12}{22} \approx 6.545$ よりも小さいため、新たな反例を提供する。
• 主定理を用いて $\mathcal{G}^6_{24}$ 上の除数類のプッシュフォワードを明示的に計算し、$7\lambda - \delta_0 - 5\delta_1 - \cdots$ に比例する類が得られた。
• $(g,r,d) = (m(2m+1), 2m, 2m(m+1))$ の無限族に対して、ブリル＝ノーアー数 $\rho = 0$ であり、二次曲面の上にあることは一つの条件を課す。
• すべての $m$ に対して対応する $D^{r,k}_{d,g}$ 系列が除数的であるならば、それらはすべてハリス＝モリソンのスロープ予想の反例を提供する。
• $\mathbb{P}^2$ の一般の 21 点での blown-up 上の線形系統 $|13H - 2\sum_{j=1}^9 E_j - 3\sum_{k=10}^{21} E_k|$ に滑らかで連結な曲線が存在することを確認し、必要な曲線の存在を裏付けた。
• $\mathcal{G}^6_{24}$ は既約であるため、この構成の幾何的整合性が支持される。