[論文レビュー] Mollifier Smoothing of tensor fields on differentiable manifolds and applications to Riemannian Geometry

Ryuichi Fukuoka|ArXiv.org|Aug 9, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、滑らかでないテンソル場—特に $L^p_{\text{loc}}$ および連続的なリーマン計量—を微分可能多様体上で、背景となるリーマン計量を用いて局所的畳み込みを定義することで、モリファイア平滑化技術を導入する。主な結果として、$C^2$ 計量の場合、平滑化パラメータ $ε \to 0$ のとき、平滑化された計量のリーマン接続およびリーマン曲率テンソルが元の計量のそれらに収束することを示しており、古典的リーマン幾何学が滑らかでない設定、特にフラクタル的構造における曲率測度へと一般化可能であることを示している。

ABSTRACT

Let M be a differentiable manifold. We say that a tensor field g defined on M is non-regular if g is in some local Lp space or if g is continuous. In this work we define a mollifier smoothing g_t of g that has the following feature: If g is a Riemannian metric of class C2, then the Levi-Civita connection and the Riemannian curvature tensor of g_t converges to the Levi-Civita connection and to the Riemannian curvature tensor of g respectively as t converges to zero. Therefore this mollifier smoothing is a good starting point in order to generalize objects of the classical Riemannian geometry to non-regular Riemannian manifolds. Finally we give some applications of this mollifier smoothing. In particular, we generalize the concept of Lipschitz-Killing curvature measure for some non-regular Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• 微分可能多様体上での滑らかでないリーマン計量（$L^p_{\text{loc}}$ または連続的テンソル場として定義されるもの）を、モリファイアによる近似法で扱うための手法を開発すること。
• 滑らかでない計量に対する古典的リーマン幾何学的対象（例：リーマン接続、曲率テンソル）を近似によって一般化するための枠組みを確立すること。
• 滑らかでない多様体、特にフラクタル的特異性を持つものに対して、平滑化された幾何的不変量の収束を活用して曲率測度を定義可能とする。
• 明示的な構成を通じて、曲率が非整数ヒルベルト次元を持つ集合に集中する $C^1$ 表面の例を提示すること。

提案手法

• 固定された $C^\infty$ 背景リーマン計量 $\widetilde{g}$ を用いて、多様体 $M$ 上のテンソル場 $\widehat{T}$ のモリファイア平滑化を定義し、局所座標および畳み込み演算を導入する。
• 局所的に有限な開被覆に対して、ユークリッド的背景計量を持つ座標近傍に従属する partition of unity $\mathcal{P}$ を構成する。
• 各近傍で標準的なモリファイアカーネルを用いて局所的平滑化を実行し、その後、partition of unity を用いて結果を結合して、グローバルな平滑化テンソル場 $\widehat{T}_\varepsilon$ を定義する。
• 元の計量 $\widehat{g}$ が $C^2$ であれば、平滑化された計量 $\widehat{g}_\varepsilon$ のリーマン接続およびリーマン曲率テンソルが $\varepsilon \to 0$ のとき元の計量のそれらに収束することを証明する。
• 収束結果を用いて、近似可能な滑らかな多様体上の不変量の極限をとることで、滑らかでないリーマン多様体上での幾何的不変量（例：曲率測度）を定義する。
• 明示的な例を構成する。具体的には、カントール集合に曲率が集中する $C^1$ 曲線の例と、ヒルベルト次元 $1 + \ln 2 / \ln 3$ の集合に曲率が支持される $C^1$ 回転表面の例を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない $C^2$ リーマン計量のリーマン接続およびリーマン曲率テンソルは、平滑化パラメータがゼロに近づくとき、滑らかな計量の系列による近似として収束するか。
• RQ2 古典的微分可能性が成立しない滑らかでないリーマン多様体に対して、曲率測度をどのように一般化できるか。
• RQ3 カントール集合の曲線を回転させた表面など、フラクタル的特異性を持つ $C^1$ リーマン多様体上での曲率の幾何的挙動はいかなるものか。
• RQ4 $C^1$ 曲線を、曲率が非整数ヒルベルト次元を持つ集合に集中するように構成できるか。その集合の次元は何か。
• RQ5 凸曲面や多面体の極限のような滑らかでない対象へとガウス曲率の概念をどの程度まで拡張できるか。

主な発見

• $C^2$ リーマン計量 $\widehat{g}$ に対して、partition of unity $\mathcal{P}$ に従うモリファイア平滑化 $\widehat{g}_\varepsilon$ により、滑らかな計量の系列が得られ、$\varepsilon \to 0$ のとき、そのリーマン接続およびリーマン曲率テンソルが $\widehat{g}$ のそれらに収束する。
• カントール関数 $f_{\mathcal{C}}$ を用いて構成された $C^1$ 曲線の曲率は、カントール集合 $\mathcal{C}$ に集中しており、曲率次元は $\ln 2 / \ln 3$ に等しい。
• このような曲線を回転させた $C^1$ 表面 $S^2_{\mathcal{C}}$ は、ヒルベルト次元 $1 + \ln 2 / \ln 3$ の集合に曲率が集中しており、非整数次元の曲率支持を示している。
• $C^1$ 表面 $S^2_{\mathcal{C}}$ の全曲率は $4\pi$ のまま維持され、ガウス・ボンネの定理と整合的であるが、曲率は特異的であり、分数次元の集合に支持されている。
• モリファイア平滑化法は、滑らかでないリーマン多様体上での幾何的対象を、近似可能な滑らかな構造の極限をとることで自然かつ一貫して定義するための有効な手法を提供する。
• $f_{\mathcal{C}}$ を、ほとんど everywhere で微分がゼロとなる連続的かつ単調増加関数として構成することで、ヒルベルト次元が最大で、かつ測度ゼロであるが、曲率が局在化した $C^1$ 曲線を構築可能となる。