[論文レビュー] Moments and distribution of central L-values of quadratic twists of elliptic curves

Maksym Radziwiłł, K. Soundararajan|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、固定された楕円曲線 $ E $ の二次歪みの族において、すべての実指数 $ k \in [0,1] $ に対して、中心 L-値 $ L(\frac{1}{2}, E_d)^k $ の不変上界を、第一モーメントをわずかに超える知識を利用した、新規の補完原理を用いて、条件なしに確立する。$ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ の分布に対して片側の中心極限定理を証明し、Keating-Snaith 予想を支持する。また、Birch-Swinnerton-Dyer 予想のもとで、Tate-Shafarevich 群の位数の分布に対する上界も得る。

ABSTRACT

We show that if one can compute a little more than a particular moment for some family of L-functions, then one has upper bounds of the conjectured order of magnitude for all smaller (positive, real) moments and a one-sided central limit theorem holds. We illustrate our method for the family of quadratic twists of an elliptic curve, obtaining sharp upper bounds for all moments below the first. We also establish a one sided central limit theorem supporting a conjecture of Keating and Snaith. Our work leads to a conjecture on the distribution of the order of the Tate-Shafarevich group for rank zero quadratic twists of an elliptic curve, and establishes the upper bound part of this conjecture (assuming the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture).

研究の動機と目的

• 固定された楕円曲線 $ E $ の二次歪みの族において、すべての $ 0 \leq k \leq 1 $ に対して、中心 L-値 $ L(\frac{1}{2}, E_d)^k $ の不変上界を確立すること。
• あるモーメントをわずかに超える知識が得られれば、それより小さいすべてのモーメントの上界が不変に導ける、補完原理を構築すること。
• $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ の分布を研究し、片側の中心極限定理を確立することで、Keating-Snaith 予想を支持すること。
• Birch-Swinnerton-Dyer 予想のもとで、ランクゼロの二次歪みに対する Tate-Shafarevich 群の位数の分布に対する上界を導出すること。

提案手法

• 補完原理を導入：モーメント $ k $ よりわずかに大きな値が既知であれば、すべての $ \leq k $ のモーメントに対する上界を不変に導出可能であることを示す。
• スペクトル理論と調和解析を用いて、既知の第一モーメント $ \sum_{|d|\leq X, d\in\mathcal{E}} L(\frac{1}{2}, E_d) \sim C_0(1,E)X $ を入力とし、高次モーメントを制御する。
• Mellin 変換技術と、$ \widehat{F} $ のフーリエ変換の推定値を用いて、歪み L-関数のトレース公式における誤差項を制御する。
• L-関数の凸性上界と指標和を用いて、トレース公式における非自明なフーリエ係数の寄与を制御する。
• dyadic 分解を導入し、$ \beta\alpha^2 \leq Y $ の和を切り詰める。誤差項のバランスをとるために $ Y = X^{1/4} v^{-1/2} u^{-3/4} $ を選ぶ。
• 関数等式と Waldspurger の定理を用いて、根数 $ \epsilon_E(d) = 1 $ を持つ歪みに限定し、中心 L-値の非負性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二モーメントが GRH なしでは到達不能であるにもかかわらず、$ 0 \leq k \leq 1 $ に対して、$ \sum_{|d|\leq X} L(\frac{1}{2}, E_d)^k $ の不変上界を確立できるか？
• RQ2 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ の分布が、片側の中心極限定理を満たすか。これは Keating-Snaith 予想と整合的であるか？
• RQ3 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ の上尾部が、平均 $ -\frac{1}{2}\log\log|d| $、分散 $ \log\log|d| $ の正規分布と整合するように上界で抑えられるか？
• RQ4 Birch-Swinnerton-Dyer 予想のもとで、ランクゼロの二次歪みに対する Tate-Shafarevich 群の位数の分布について何が言えるか？

主な発見

• すべての $ 0 \leq k \leq 1 $ に対して、$ X $ が十分に大きいとき、$ \sum_{|d|\leq X, d\in\mathcal{E}} L(\frac{1}{2}, E_d)^k \leq C(k,E) X (\log X)^{k(k-1)/2} $ が不変に成り立つ。
• この上界から、すべての $ d \in \mathcal{E} $ で $ |d| \leq X $ かつ $ d $ が基本的判別式であるような $ d $ のうち、$ o(X) $ 個を除き、$ L(\frac{1}{2}, E_d) = O((\log|d|)^{-1/2 + \epsilon}) $ が成り立つことが従う。
• 比例 $ \frac{\log L(\frac{1}{2}, E_d) + \frac{1}{2}\log\log|d|}{\sqrt{\log\log|d|}} \geq V $ を満たす $ d \in \mathcal{E} $ の割合は、$ \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_V^\infty e^{-x^2/2} dx + o(1) \right) \cdot |\{ d \in \mathcal{E} : |d| \leq X \}| $ 以下である。
• この結果は、Keating-Snaith 予想における $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ の正規分布の性質を支持し、片側の中心極限定理を確立する。
• Birch-Swinnerton-Dyer 予想のもとで、ランクゼロの歪みに対する Tate-Shafarevich 群の位数の分布の上界部分が確立される。
• GRH に依存しない方法として、部分的なモーメント情報から上界を導く補完原理を用いることで、GRH のもとでの条件付き結果の不変版を提供する。