[論文レビュー] Moments on Riemann surfaces and hyperelliptic Abelian integrals

Lubomir Gavrilov, Fedor Pakovich|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2011

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、複素解析および代数幾何学における3つの密接に関連した問題を解決する：リーマン面上のモーメント問題、射影平面における次元0のアーベル積分の消滅、およびハイパーオービックアーベル積分の消滅。ハイパーオービックアーベル積分の消滅が、関連する次元0のアーベル積分の消滅と同値であることを確立し、多項式の合成的因数分解に関する条件に帰着させ、有理関数および逆関数の関数方程式を通じて完全な特徴付けを導出する。

ABSTRACT

In the present paper we solve the following different but interrelated problems: (a) the moment problem on Riemann surfaces, (b) the vanishing problem of polynomial Abelian integrals of dimension zero on the projective plane, (c) the vanishing problem of polynomial hyperelliptic Abelian integrals.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面上で、f がメラモーフィックで ω がメラモーフィック1形式であるとき、∫γ fsω のモーメントが恒等的に消えるための必要十分条件を特定すること。
• 特に多項式の逆関数の関数方程式を用いて、射影平面上での次元0の多項式アーベル積分の消滅を特徴付けること。
• 完全なハイパーオービックアーベル積分が恒等的に消える条件を解き、多項式ベクトル場の分岐と16番目のヒルベルト問題との関係を特に扱うこと。
• 次元0のアーベル積分とモーメント問題の枠組みを通じて、これらの問題を統一し、適切な幾何学的・代数的条件下でそれらの同値性を示すこと。

提案手法

• リーマン面上のモーメント問題を、次元0のアーベル積分として解釈された代数的関数の消滅に還元する。
• 生成関数 J(t) = ∫γ ω/(f−t) を用いてモーメントの消滅を分析し、有理関数性および代数的構造と関連付ける。
• 多項式モーメント問題および ℚⁿ の不変部分空間の結果を応用し、次元0の積分の消滅条件を特徴付ける。
• ハイパーオービックアーベル積分の消滅を、y² = f(x) + t で定義されるリーマン面 Γₜ 上のモーメント問題に翻訳する。
• f + t によるサイクルの像に沿った変形技術を用い、臨界値の区間ごとにサイクルを0次元サイクルに分解する。
• ルーロスの定理および関数方程式を用いて、K(x₁(t)) ≡ K(x₂(t)) が成り立つのは、f と K が共通の右合成的因数を持つとき、かつそのときに限ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン面上で、メラモーフィック関数 f と1形式 ω に対して、すべてのモーメント ∫γ fsω が恒等的に消える条件は何か？
• RQ2 有理係数 ai と多項式 f の逆関数の分岐について、∑ai g(f⁻¹ᵢ(z)) ≡ 0 が成り立つのはいつか？
• RQ3 連続的なオービングの族に沿って定義される I(t) = ∫γ(t) (Pdx + Qdy) の完全なハイパーオービックアーベル積分が消えるのはどのような場合か？
• RQ4 ハイパーオービックアーベル積分の消滅は、モーメント問題および次元0のアーベル積分とどのように関係しているか？

主な発見

• ハイパーオービックアーベル積分 I(t) の消滅は、臨界値の区間から導かれる0次元サイクル上の関連する次元0のアーベル積分の消滅と同値である。
• I(t) ≡ 0 であるための必要十分条件は、実多項式 r が存在し、f と K = ∫k が両方とも r の多項式であり、かつオービングの端点について r(x₁(t)) ≡ r(x₂(t)) が成り立つことである。
• K(x₁(t)) ≡ K(x₂(t)) が成り立つのは、f と K が共通の右合成的因数を持つとき、かつそのときに限る。このことは積分が恒等的に消えることを意味する。
• この手法は一般に適用可能であり、t 平面上のパスに沿ってサイクル γ(t) が消えるという仮定がなくても、定理4.1を定理4.2の代わりに用いることで成立する。
• 証明では、f + t によるオービングの像が、0次元サイクル δi(z) が定義される区間に分解され、I(t) の有理関数性は ∫δi(z) K ≡ 0 に依存する。
• この結果は、Christopher と Mardesic のモース型（k=1）の既存の結果を一般化し、任意の実多項式 f（次数 ≥2）にまで拡張する。