[論文レビュー] Momentum Maps and Classical Relativistic Fields. Part II: Canonical Analysis of Field Theories

Mark J. Gotay, James Isenberg+1 more|ArXiv.org|Nov 9, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用数 46

ひとこと要約

本稿では、コーシー面から導かれる瞬間的位相空間上の運動量写像を用いて、古典場理論の標準的定式化を構築する。これは第I部で提示された共変運動量写像をハミルトニアン形式へ一般化したものであり、ヤン・ミルズ理論やボソン的ストリング理論などの場理論において、エネルギー運動量写像がハミルトニアンおよびスーパーモーメンタムを符号化することを確立する。このエネルギー運動量写像の成分は、時空微分同相写像およびゲージ対称性に対応する。

ABSTRACT

With the covariant formulation in hand from the first paper of this series (physics/9801019), we begin in this second paper to study the canonical (or ``instantaneous'') formulation of classical field theories. The canonical formluation works with fields defined as time-evolving cross sections of bundles over a Cauchy surface, rather than as sections of bundles over spacetime as in the covariant formulation. In Chapter 5 we begin to relate these approaches to classical field theory; in particular, we show how covariant multisymplectic geometry induces the instantaneous symplectic geometry of cotangent bundles of sections of fields over a Cauchy surface. In Chapter 6, we proceed to consider field dynamics. A crucial feature of our discussion here is the degeneracy of the Lagrangian functionals for the field theories of interest. As a consequence of this degeneracy, we have constraints on the choice of initial data, and gauge freedom in the evolution of the fields. Chapter 6 considers the role of initial value constraints and gauge transformations in Hamiltonian field dynamics. In Chapter 7, we then describe how covariant momentum maps defined on the multiphase space induce "energy-momentum maps'' on the instantaneous phase spaces. We show that for a group action which leaves the Cauchy surface invariant, this energy-momentum map coincides with the usual notion of a momentum map. We also show, when the gauge group"includes'' the spacetime diffeomorphism group, that one of the components of the energy-momentum map corresponding to spacetime diffeomorphisms can be identified (up to sign) with the Hamiltonian for the theory.

研究の動機と目的

• 場の配置空間の余接束上のシンプレクティック幾何学を用いて、古典場理論を標準的（瞬間的）な枠組みで定式化すること。
• 時空埋め込み $ \tau: \Sigma \to X $ 沿いの引き戻しを用いて、多重位相空間 $ Z $ 上の共変多重シンプレクティック構造 $ \Omega $ と、$ T^*\tilde{\tau} $ 上の標準的シンプレクティック構造 $ \omega_\tau $ の関係を確立すること。
• 共変設定からの運動量写像を標準的形式へ一般化し、瞬間的位相空間上に「エネルギー運動量写像」を導入すること。
• エネルギー運動量写像の成分が、ハミルトニアンやストリング理論におけるスーパーモーメンタムを含む物理的保存量に対応することを示すこと。
• エネルギー運動量写像の零点集合として第一級制約集合を特定することにより、標準的形式における制約およびゲージ対称性の役割を明確にすること。

提案手法

• コーシー面 $ \Sigma $ 上の滑らかな断面の空間としての瞬間的配置空間 $ \tilde{\tau} $ を定義し、その余接束 $ T^*\tilde{\tau} $ と標準的シンプレクティック形式 $ \omega_\tau $ を構成する。
• 時空埋め込み $ \tau: \Sigma \to X $ 沿いの引き戻しを用いて、$ Z $ 上の共変多重シンプレクティック形式 $ \Omega $ を、$ T^*\tilde{\tau} $ 上の標準的シンプレクティック形式 $ \omega_\tau $ へ関連付ける。
• ハミルトニアン定式化を可能にするために、接束 $ T\tilde{\tau} $ から余接束 $ T^*\tilde{\tau} $ への瞬間的リーマン変換を導入する。
• 時空微分同相写像およびゲージ対称性が場の配置空間に作用するものとして、$ T^*\tilde{\tau} $ 上のエネルギー運動量写像 $ \mathcal{E}_\tau $ を運動量写像として定義する。
• 部分積分および制約削減を用いて、ヤン・ミルズ理論やボソン的ストリング理論などの具体的な場理論におけるエネルギー運動量写像の明示的表現を導出する。
• 系のハミルトニアンが、最終的な制約多様体上に制限されたとき、エネルギー運動量写像の特定の成分に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第I部の共変運動量写像は、どのように瞬間的位相空間 $ T^*\tilde{\tau} $ へ上昇させることができるか？
• RQ2 共変多重位相空間 $ Z $ 上の多重シンプレクティック構造と、$ T^*\tilde{\tau} $ 上のシンプレクティック構造との間の明確な関係は何か？
• RQ3 瞬間的位相空間 $ T^*\tilde{\tau} $ 上のエネルギー運動量写像の成分は、ハミルトニアンやスーパーモーメンタムといった物理的保存量とどのように対応するか？
• RQ4 エネルギー運動量写像が、標準的形式における通常の運動量写像と一致する条件は何か？
• RQ5 ボソン的ストリング理論のような場理論のハミルトニアンは、エネルギー運動量写像からどのように回復されるか？

主な発見

• エネルギー運動量写像 $ \mathcal{E}_\tau $ は、時空微分同相写像およびゲージ対称性が場の配置空間に作用するものとして、$ T^*\tilde{\tau} $ 上に誘導される運動量写像であることが示された。
• ボソン的ストリング理論において、エネルギー運動量写像の成分 $ \mathfrak{H} $ と $ \mathfrak{J} $ は、それぞれスーパーハミルトニアンおよびスーパーモーメンタムに正確に対応し、$ \mathcal{E}_\tau = - (\mathfrak{H}, \mathfrak{J}) $ が成り立つ。
• ボソン的ストリング理論のハミルトニアンは、時間移動に対応するエネルギー運動量写像の成分として回復され、$ \mathfrak{H} = \frac{1}{2\sqrt{\gamma}}(\pi^2 + \partial\varphi^2) $ で与えられる。
• スーパーモーメンタム $ \mathfrak{J} = \pi \cdot \partial\varphi $ は、非自明に作用する群 $ \mathcal{G}_\tau $ の運動量写像の成分として現れる。
• エネルギー運動量写像は、制約 $ F_{12} = 0 $ のラグランジュ乗数を含む項によってチェーン＝シモンズハミルトニアンとは異なるが、最終的な制約多様体上では一致する。
• ヤン・ミルズ理論の $ \mathcal{P}_\tau $ 上のエネルギー運動量写像は、ゲージ場 $ A $、その場強度 $ F $、およびキリングベクトル場 $ \xi $ を含む積分表現で与えられ、ハミルトニアンは時間移動に対応する成分として特定される。