[論文レビュー] Momentum maps and Noether theorem for generalized Nambu mechanics

Sagar Pandit, Anil D. Gangal|ArXiv.org|Aug 5, 1999

Energy, Environment, Agriculture Analysis参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Nambu力学における定数3形式の要件を閉じていること（dΩ = 0）に緩和することで一般化を行い、一般化された運動量写像形式を用いてネーターの定理を拡張する。対称性に伴う保存則を2形式を動的変数として定式化し、軸対称剛体を3次元Nambu系としての具体例として提示する。

ABSTRACT

In Ref.~\cite{Sag} we proposed a geometric formulation of generalized Nambu mechanics. In the present paper we extend the class of Nambu systems by replacing the stringent condition of constancy of 3-form by closedness. We also explore the connection between continuous groups of symmetries and conservation laws for such systems. The Noether theorem for generalized Nambu systems is formulated by generalizing the notion of momentum map. In this case, a natural choice of dynamical variables for discussion of symmetries is 2-form fields. Thus the generators and the conserved quantities in Noether theorem are best expressed in terms of 2-forms. The connection between the generators and the conserved quantities is illustrated with the example of an axially symmetric top formulated as three dimensional Nambu system.

研究の動機と目的

• Nambu力学における3形式の厳密な定数性を、閉じていること（dΩ = 0）に緩和することで、一般化されたNambu力学を拡張すること。
• この一般化された枠組みにおいて、連続的対称性と保存則の間の関係を確立すること。
• 一般化された運動量写像概念を用いて、Nambu系におけるネーターの定理を再定式化すること。
• 対称性生成子と保存量を表すために、2形式場を自然な動的変数として特定すること。
• 具体的な物理的例として、軸対称剛体を3次元Nambu系として一貫して定式化すること。

提案手法

• Nambu力学における定数3形式の要件を、弱い条件である閉じていること（dΩ = 0）に置き換える。
• リー代数の生成子を2形式へ写像する一般化された運動量写像を導入し、標準的な運動量写像概念を拡張する。
• Nambu構造の閉じている性質を用いて、対称性ベクトル場との縮約により保存量を定義する。
• 対称性生成子とそれに対応する保存量の両方を、スカラー関数ではなく2形式として表現する。
• 形式を軸対称剛体に適用し、回転対称性が2形式形式を介して保存角運動量を生じることを示す。
• 外微分計算やリー微分を含む微分幾何的技法を用いて、一般化されたネーター恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3形式が定数ではなく閉じている場合、ネーターの定理はどのように一般化Nambu系に拡張できるか？
• RQ2 動的変数が関数ではなく2形式である場合、運動量写像の適切な一般化は何か？
• RQ3 Nambu力学における連続的対称性が、閉じた3形式条件のもとでどのように保存則を導くか？
• RQ4 この枠組みにおいて2形式が、対称性生成子と保存量の両方をどのように符号化するか？
• RQ5 軸対称剛体は、一般化された形式のもとで3次元Nambu系として一貫して定式化可能か？

主な発見

• 本稿は、Nambu3形式の条件を定数性から閉じていること（dΩ = 0）に一般化することに成功し、許容可能なNambu系のクラスを拡張した。
• リー代数の要素を2形式へ写像する一般化された運動量写像が定義され、ネーターの定理の整合的かつ一貫した定式化が可能になった。
• 保存量が閉じた3形式と対称性ベクトル場との縮約から生じることが示され、保存量の電荷としての自然な表現が2形式であることが明らかになった。
• 軸対称剛体が一般化された形式のもとで有効な3次元Nambu系として示され、回転対称性が2形式形式を介して保存角運動量を生じることが確認された。
• 本フレームワークは、対称性生成子（2形式として）と保存量の間の直接的な対応関係を確立し、高次括弧への古典的ネーター対応を拡張した。
• 2形式を基本変数として用いることで、一般化されたNambu力学における対称性と保存則の幾何学的整合性とコベリヤンスのある記述が達成された。