[論文レビュー] Monochromatic disconnection of graphs

Ping Li, Xueliang Li|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の頂点対が単色の辺カットによって分離されるようなエッジ彩色における色の最大数として定義される単色非接続数 $md(G)$ を導入する。本稿は、ほとんどすべてのグラフが $md(G) = 1$ を満たすことを証明し、$md(G) + md(\overline{G})$ および $md(G) \cdot md(\overline{G})$ についてタイトなノードハウス＝ガッダム型の不等式を確立し、さまざまなグラフの順序においてその不等式が鋭いことを示している。

ABSTRACT

For an edge-colored graph $G$, we call an edge-cut $M$ of $G$ monochromatic if the edges of $M$ are colored with a same color. The graph $G$ is called monochromatically disconnected if any two distinct vertices of $G$ are separated by a monochromatic edge-cut. For a connected graph $G$, the monochromatic disconnection number, denoted by $md(G)$, of $G$ is the maximum number of colors that are needed in order to make $G$ monochromatically disconnected. We will show that almost all graphs have monochromatic disconnection numbers equal to 1. We also obtain the Nordhaus-Gaddum-type results for $md(G)$.

研究の動機と目的

• 単色非接続数 $md(G)$ を定義し、それがすべての頂点対が単色の辺カットによって分離されるようなエッジ彩色における色の最大数であることを研究すること。
• ランダムなグラフにおける $md(G)$ の典型的な値を特定し、ほとんどすべてのグラフが $md(G) = 1$ を満たすことを示すこと。
• 順序 $n \geq 4$ の連結グラフについて、$md(G) + md(\overline{G})$ および $md(G) \cdot md(\overline{G})$ に対するタイトなノードハウス＝ガッダム型の不等式を確立すること。
• 明示的な構成と帰納的議論を用いて、導出された不等式の鋭さを証明すること。

提案手法

• 単色の辺カットとは、すべての辺が同じ色を持つ辺カットであり、すべての頂点対がこのようなカットによって分離されるグラフを単色非接続と定義する。
• 単色非接続を達成するエッジ彩色における色の最大数として、単色非接続数 $md(G)$ を定義する。
• 特に次数が2以上の頂点および葉頂点に注目した頂点削除に基づく帰納的議論を用いて、$md(G)$ および $md(\overline{G})$ を評価する。
• 補題2.7を適用し、葉でもないかつカット頂点でもない頂点を削除しても、単色非接続数が減少または保存されることを示し、帰納的評価を可能にする。
• 極値グラフ $B_n$ および $K_{n}^{-}$ を構成することで、$md(G) \cdot md(\overline{G})$ の上界の鋭さを示す。
• 特定の $n$ について、補グラフ $\overline{G}$ を分析し、$md(G) + md(\overline{G})$ および $md(G) \cdot md(\overline{G})$ の正確な値と不等式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな連結グラフにおける単色非接続数 $md(G)$ の典型的な値は何か？
• RQ2 両方のグラフ $G$ および $\overline{G}$ が連結であり、$|G| = n \geq 4$ のとき、$md(G) + md(\overline{G})$ の最良の上界および下界は何か？
• RQ3 同様の条件下で、$md(G) \cdot md(\overline{G})$ の最良の上界および下界は何か？
• RQ4 どの $n$ の値に対して $md(G) \cdot md(\overline{G})$ が最小または最大となり、その極値は達成可能か？

主な発見

• ほとんどすべてのグラフは単色非接続数 $md(G) = 1$ を満たしており、これはランダムグラフにおいて単色非接続が一般的な性質であることを示している。
• $n = 4$ のとき、$md(G) + md(\overline{G}) = 6$ かつ $md(G) \cdot md(\overline{G}) = 9$ であり、両方の値が鋭い。
• $n = 5$ のとき、和 $md(G) + md(\overline{G})$ は6で抑えられ、積 $md(G) \cdot md(\overline{G})$ は9で抑えられ、等号が達成可能である。
• $n = 6$ のとき、和 $md(G) + md(\overline{G})$ は少なくとも4であり、積 $md(G) \cdot md(\overline{G})$ は少なくとも3で最大10であり、両方の不等式が鋭い。
• $n \geq 7$ のとき、積 $md(G) \cdot md(\overline{G})$ は $2(n-1)$ で上から抑えられ、この上界は $B_n$ および $\overline{B_n}$ の構成により鋭いことが示されている。
• $n \geq 7$ において $md(G) \cdot md(\overline{G})$ の最小値は1であり、$md(G) = 1$ かつ $md(\overline{G}) = 1$ のときに達成され、下界が鋭いことが示されている。