[論文レビュー] Monolithic and splitting based solution schemes for fully coupled quasi-static thermo-poroelasticity with nonlinear convective transport

Mats K. Brun, Elyes Ahmed+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、対流熱輸送を伴う非線形で完全に結合された準静的熱圧縮性多孔質体問題を解くための、6つのモノリシックかつ分割型の反復スキームを提案する。3変数モデルを5変数系に拡張し、固定応力分割とLスキーム線形化を適用することで、結合強度やメッシュの細分化にかかわらず、安定した収束性を達成した。安定化処理により、非安定化手法に比べて著しく収束性が向上した。

ABSTRACT

This paper concerns splitting-based iterative procedures for the coupled nonlinear thermo-poroelasticity model problem. The thermo-poroelastic model problem we consider is formulated as a three-field system of PDE's, consisting of an energy balance equation, a mass balance equation and a momentum balance equation, where the primary variables are temperature, fluid pressure, and elastic displacement. Due to the presence of a nonlinear convective transport term in the energy balance equation, it is convenient to have access to both the pressure and temperature gradients. Hence, we introduce these as two additional variables and extend the original three-field model to a five-field model. For the numerical solution of this five-field formulation, we compare three approaches that differ by how we treat the coupling/decoupling between the flow and/from heat and/from mechanics; these approaches have in common a simultaneous application of the fixed-stress splitting scheme on both the non-linearity and the coupling structure of the problem. More precisely, the derived procedures transform a nonlinear and fully coupled problem into a set of simpler subproblems to be solved sequentially in an iterative fashion. We provide a convergence proof for the derived algorithms, and validate our results through several numerical examples.

研究の動機と目的

• 対流輸送を伴う熱、流れ、力学の3つの物理現象が完全に結合された非線形熱圧縮性多孔質体問題を解く挑戦に応える。
• 強い結合性や非線形性の下で失敗する既存手法の限界を克服するため、安定化された反復的分割フレームワークを導入する。
• 熱、流れ、力学の3つのプロセスのすべての可能な結合／分離の組み合わせをカバーする6つの異なる反復アルゴリズムを開発する。
• Lスキーム線形化と固定応力分割を用いることで、強い結合性や非線形対流項が存在する状況でも収束性とロバスト性を保証する。
• 複数の数値ベンチマークを用いて提案スキームの妥当性を検証し、多様なパラメータ領域およびメッシュ細分化において安定性と効率性を示す。

提案手法

• 温度、圧力、変位の3変数熱圧縮性多孔質体モデルを、圧力および温度勾配を追加変数として導入することで5変数系に拡張する。
• 非線形対流項および結合構造の両方に、固定応力分割スキームを同時に適用し、部分問題を逐次的に解くことを可能にする。
• エネルギー方程式における非線形対流項の線形化および安定化にLスキームを用い、収束性とロバスト性を保証する。
• すべての6つのアルゴリズムを、熱、流れ、力学の部分問題を異なる結合順序で交互に解く反復的手法として定式化する。
• 理論的解析から導かれる時間刻み長の制約条件下で収束性の証明を提示するが、実際の性能は理論的境界をはるかに超えてロバストであることが観察された。
• 空間離散化に混合有限要素法を採用し、数値解法における局所的質量保存および運動量保存を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対流輸送によって生じる強い結合性と非線形性に対処できる反復的分割スキームは、どのように設計できるか？
• RQ2 Lスキームによる安定化処理は、結合強度やパラメータ領域の変化に伴う分割アルゴリズムの収束性とロバスト性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 熱、流れ、力学の3つのプロセスのすべての6通りの結合／分離構成を、統一された反復フレームワークを用いて効果的に実装・検証できるか？
• RQ4 安定化アルゴリズムと非安定化アルゴリズムの間で、反復回数やパラメータ変動に対する感受性にどのような差が生じるか？
• RQ5 理論的収束限界として導かれる時間刻み長の制約は、複雑な非線形マルチフィジックスシミュレーションにおける実際の性能をどれほど正確に反映しているか？

主な発見

• 提案された6つのアルゴリズムすべてが、40×40要素に達するメッシュ細分化および多様なパラメータ領域において、安定した収束性と安定性を示した。
• 異なるメッシュサイズや結合強度においても反復回数が一貫して低く（12～18回）維持され、優れたスケーラビリティとロバスト性を示した。
• Lスキームによる安定化処理により、パラメータ変動に対する感受性が著しく低下した。非安定化アルゴリズムは強い結合領域で失敗または過剰な反復を要するが、安定化バージョンは依然として有効であった。
• 一定の熱源（z = 2×10⁻⁴ W m⁻³ K⁻¹）を想定した場合、温度場が圧力および変位に顕著な影響を及ぼすことが確認され、システム全体の強い結合性が裏付けられた。
• 理論的時間刻み長制約は過剰に保守的であることが判明した。流束が有界である限り、実用的な時間刻み長でも性能が安定に保たれた。
• 勾配変数を追加した5変数系の定式化により、非線形対流項の正確な取り扱いが可能となり、数値的安定性および解の精度が向上した。