[論文レビュー] Monotone Rank and Separations in Computational Complexity

Yang D. Li|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 1

ひとこと要約

本稿は非可換代数的モデルにおける計算複雑性の分野で、単調ランクを新たな道具として導入し、単調計算と非単調計算の間で超指数的分離を達成した。これは長年の未解決問題を解決するものであり、n 個の変数上の同次次数 d の関数を構築することで、単調 ABP 複雑度が Ω(n)、非単調 ABP 複雑度が O(d) であることを示した。また、対数ランク予想を一般化し、局所的隠れ変数にタイトな境界を与える緩和版ベルの定理を提示した。

ABSTRACT

In the paper, we introduce the concept of monotone rank, and using it as a powerful tool, we obtain several important and strong separation results in computational complexity. – We show a super-exponential separation between monotone and non-monotone computation in the non-commutative model, and thus give the answer to a longstanding open problem posed by Nisan [Nis91] in algebraic complexity. More specifically, we exhibit a homogeneous algebraic function f of degree d (d even) on n variables with the monotone algebraic branching program (ABP) complexity Ω(n) and the non-monotone ABP complexity O(d). – We propose a relaxed version of the famous Bell’s theorem [Bel64] [CHSH69]. Bell’s theorem basically states that local hidden variable theory cannot predict the correlations produced by quantum mechanics, and therefore is an impossibility result. Bell’s theorem heavily relies on the diversity of the measurements. We prove that even if we fix the measurement, infinite amount of local hidden variables will still be needed, though now the prediction of “quantum mechanics” becomes physically feasible. Quantitatively, at least n bits of local hidden variables are needed to simulate the correlations of size 2n generated from a 2-qubit Bell state. The bound is asymptotically tight. – We generalize the log-rank conjecture [LS88] in communication complexity to the multiparty case, and prove that for super-polynomial parties, there is a super-polynomial separation between the deterministic communication complexity and the logarithm of the rank of the communication tensor. This means that the log-rank conjecture does not hold in “high” dimensions.

研究の動機と目的

• 非可換代数的複雑性における単調計算と非単調計算の間のニーサンの長年の未解決問題を解決すること。
• 固定された測定設定下で無限個の局所的隠れ変数を必要とするが物理的に妥当なモデルを維持する緩和版ベルの定理を確立すること。
• 対数ランク予想を多人数通信複雑性設定に一般化し、高次元の場合の有効性を調査すること。
• 超多項式の人数に対して、決定的通信複雑度と通信テンソルランクの対数との間で超多項式の分離を示すこと。

提案手法

• 単調および非単調設定における代数的ブランチングプログラム（ABPs）を分析する構造的指標として単調ランクの概念を導入する。
• n 個の変数上の偶数次元 d の同次代数的関数 f を構築し、単調 ABP 複雑度（Ω(n)）と非単調 ABP 複雑度（O(d)）との間で超指数的ギャップを示す。
• 測定設定を固定し、量子相関をシミュレートするために必要な最小の局所的隠れ変数の数を分析することで、緩和版ベルの定理を提唱する。
• 2量子ビットのベル状態からの量子相関構造を用い、測定が固定された場合に2^nサイズの相関集合をシミュレートするために少なくとも n ビットの局所的隠れ変数が必要である下界を導出する。
• 通信テンソルランクと決定的通信複雑度との関係を分析することで、多人数ケースへの対数ランク予想の一般化を試みる。
• 漸近的解析を用い、超多項式の人数に対して決定的通信複雑度が log(rank) よりも超多項式的に大きくなることを示し、高次元における対数ランク予想の不成立を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換モデルにおける単調計算と非単調代数的計算の間で、超指数的分離を達成できるか？
• RQ2 測定設定が固定された場合に、量子相関をシミュレートするために必要な局所的隠れ変数の最小数は何か？
• RQ3 超多項式の人数に対して、多人数通信複雑性設定における対数ランク予想は成り立つか？
• RQ4 物理的に妥当なバージョンのベルの定理を、それでも無限個の局所的隠れ変数を必要とする形で定式化できるか？
• RQ5 高次元多人数設定において、通信テンソルランクと決定的通信複雑度の関係は何か？

主な発見

• 単調と非単調 ABP 複雑度の間で超指数的分離が達成された：n 個の変数上の同次次数 d の関数に対して、単調複雑度は Ω(n)、非単調複雑度は O(d) である。
• 2量子ビットのベル状態に対して、測定が固定された場合、2^nサイズの量子相関をシミュレートするために少なくとも n ビットの局所的隠れ変数が必要であり、この境界は漸近的にタイトである。
• 人数が超多項式のとき、決定的通信複雑度が通信テンソルランクの対数よりも超多項式的に大きくなるため、多人数設定では対数ランク予想は成り立たない。
• 本稿は、非可換モデルにおける単調計算と非単調代数的計算の間で超指数的ギャップを示す関数を構築することで、ニーサンの未解決問題を解決した。
• 緩和版ベルの定理が証明され、固定測定下でも量子相関を再現するには無限個の局所的隠れ変数が必要であることが示されたが、このようなモデルの物理的妥当性は保たれている。
• 結果として、単調ランクが代数的および通信複雑性における強力な分離を証明するための有効な道具であることが明らかになった。この結果は、量子基礎理論および回路下界に応用される可能性を秘めている。