[論文レビュー] Monotonicity and non-monotonicity of domains of stochastic integral operators

Ken‐iti Sato|ArXiv.org|Jul 12, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、Lévy過程の不適切な確率積分に関連するドメインの単調性特性を調査する。本稿では、被積分関数 $f$ に関して、本質的ドメイン $Φ_{φ}$ が単調であることが確立される一方で、標準的ドメインおよび補正ドメインは単調でないことが示され、明示的な反例が提示され、単調性が成立するか失敗する条件が同定される。

ABSTRACT

A Lévy process on $R^d$ with distribution $μ$ at time 1 is denoted by $X^{(μ)}=\{X_t^{(μ)}\}$. If the improper stochastic integral $\int_0^{\infty-} f(s)dX_s^{(μ)}$ of $f$ with respect to $X^{(μ)}$ is definable, its distribution is denoted by $Φ_f(μ)$. The class of all infinitely divisible distributions $μ$ on $R^d$ such that $Φ_f(μ)$ is definable is denoted by $D(Φ_f)$. The class $D(Φ_f)$, its two extensions $D_c(Φ_f)$ and $D_e(Φ_f)$ (compensated and essential), and its restriction $D^0(Φ_f)$ (absolutely definable) are studied. It is shown that $D_e(Φ_f)$ is monotonic with respect to $f$, which means that $|f_2|\leq |f_1|$ implies $D_e(Φ_{f_1})\subset D_e(Φ_{f_2})$. Further, $D^0(Φ_f)$ is monotonic with respect to $f$ but neither $D(Φ_f)$ nor $D_c(Φ_f)$ is monotonic with respect to $f$. Furthermore, there exist $μ$, $f_1$, and $f_2$ such that $0\leq f_2\leq f_1$, $μ\in D(Φ_{f_1})$, and $μ ot\in D(Φ_{f_2})$. An explicit example for this is related to some properties of a class of martingale Lévy processes.

研究の動機と目的

• Lévy過程の不適切な確率積分に関連するドメイン $Φ_{φ}$ の被積分関数 $f$ に関する単調性挙動を分析すること。
• 標準的ドメイン $Φ_{φ}$、その補正版 ($Φ_{φ,c}$) および本質的拡張 ($Φ_{φ,e}$)、および絶対的定義可能ドメイン $Φ_{φ}^0$ の間の違いを明確にすること。
• ドメイン $Φ_{φ}$ が被積分関数 $f$ に関して単調となる条件を特定し、単調性が失敗する場合の反例を構成すること。
• 指数的減衰関数などの特定の関数クラスに対して、ドメイン $Φ_{φ}^0$、$Φ_{φ,e}$、および $Φ_{φ}$ の明示的特徴付けを提供すること。

提案手法

• 不適切な確率積分の収束および可積分性条件に基づき、四つのドメイン：$Φ_{φ}^0$（絶対的定義可能）、$Φ_{φ}$（定義可能）、$Φ_{φ,c}$（補正）、$Φ_{φ,e}$（本質的）を導入し、それらを比較する。
• Lévy–Khintchine表現および積分関数 $C_{\mu}(z)$ を用いて、絶対的定義可能性の必要十分条件を導出し、積分 $\int_0^\infty |C_{\mu}(f(s)z)|ds < \infty$ を通じて特徴付ける。
• Orlicz型空間および局所可積分性に関する既知の結果を応用し、局所 $X^{(\mu)}$-可積分関数のクラス $\mathbf{L}(X^{(\mu)})$ を特徴付ける。
• 包含関係 $\mathfrak{D}^0(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}_c(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}_e(\Phi_f)$ を用いて、単調性挙動を分析する。
• 文献[10]の定理5.15を指数型関数 $f(s) = e^{-c s^\alpha}$ に適用し、$\log^+|x|$ の指数 $1/\alpha$ における可積分性を含む、正確なドメイン特徴付けを導出する。
• マルティンゲールLévy過程を用いた反例を構築し、$|f_2| \leq |f_1|$ の下で $\mathfrak{D}(\Phi_f)$ および $\mathfrak{D}_c(\Phi_f)$ の非単調性を明示的に示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不適切な確率積分のドメイン $\mathfrak{D}(\Phi_f)$ は被積分関数 $f$ に関して単調か？
• RQ2 本質的ドメイン $\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$ が被積分関数 $f$ に関して単調となる条件は何か？
• RQ3 $\mathfrak{D}(\Phi_f)$ および $\mathfrak{D}_c(\Phi_f)$ の非単調性は、反例を用いて明示的に示せるか？
• RQ4 $f(s) \asymp e^{-c s^\alpha}$ の場合に、$\mathfrak{D}^0(\Phi_f)$、$\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$、$\mathfrak{D}(\Phi_f)$ の正確な特徴付けは何か？
• RQ5 $\mathfrak{D}^0(\Phi_f)$、$\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$、$\mathfrak{D}(\Phi_f)$ は、$\mu$ のLévy測度 $\nu$ とどのように関係するか？

主な発見

• 本質的ドメイン $\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$ は被積分関数 $f$ に関して単調である：$|f_2| \leq |f_1|$ ならば $\mathfrak{D}_e(\Phi_{f_1}) \subset \mathfrak{D}_e(\Phi_{f_2})$ が成り立つ。
• 絶対的定義可能ドメイン $\mathfrak{D}^0(\Phi_f)$ は被積分関数 $f$ に関して単調であるが、$\mathfrak{D}(\Phi_f)$ や $\mathfrak{D}_c(\Phi_f)$ は単調でない。
• ある $\mu$、$f_1$、$f_2$ が存在し、$0 \leq f_2 \leq f_1$ かつ $\mu \in \mathfrak{D}(\Phi_{f_1})$ だが $\mu \notin \mathfrak{D}(\Phi_{f_2})$ となることがあり、非単調性が示される。
• $\alpha \in (0,1) \cup (1,2)$ に対して $f(s) \asymp e^{-c s^\alpha}$ の場合、ドメイン $\mathfrak{D}^0(\Phi_f)$、$\mathfrak{D}(\Phi_f)$、$\mathfrak{D}_c(\Phi_f)$、$\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$ はすべて一致し、$\int_{\mathbb{R}^d} (\log^+|x|)^{1/\alpha} \mu(dx) < \infty$ を満たす $\mu \in ID(\mathbb{R}^d)$ の集合に等しい。
• $\alpha \in (1,2)$ のとき、ドメイン $\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$ は $\mathfrak{D}^0(\Phi_f)$ よりも厳密に大きいことが示され、絶対的定義可能性と本質的定義可能性の間のギャップが明らかになる。
• 結果は、自己分解的および高階のドメイン $L_m(\mathbb{R}^d)$ の確率積分表現へと拡張可能であり、$f(s) = e^{-c s^{1/(m+1)}}$ を用いることで、明示的なドメイン特徴付けが得られる。