[論文レビュー] Monotonicity of the first eigenvalue of the Laplace and the p-Laplace operators under a forced mean curvature flow

Jing Mao|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド空間内のコンパクトで厳密に凸な超曲面上の強制平均曲率フローにおいて、ラプラシアンおよびp-ラプラシアン作用素の第一固有値の単調性を確立する。曲率および強制項の制約を課すことにより、強制係数が $\rho^2 \leq n\kappa(t)$ を満たすとき第一固有値は非増加であり、$\sigma^2 \geq n\kappa(t)$ のとき非減少であることが証明される。これはリッチフローに限らない幾何学的フローへのペレラ型単調性の拡張を示している。

ABSTRACT

In this paper, we would like to give an answer to extbf{Problem 1} below issued firstly in [J. Mao, Eigenvalue estimation and some results on finite topological type, Ph.D. thesis, IST-UTL, 2013]. In fact, by imposing some conditions on the mean curvature of the initial hypersurface and the coefficient function of the forcing term of a forced mean curvature flow considered here, we can obtain that the first eigenvalues of the Laplace and the $p$-Laplace operators are monotonic under this flow. Surprisingly, during this process, we get an interesting byproduct, that is, without any complicated constraint, we can give lower bounds for the first nonzero closed eigenvalue of the Laplacian provided additionally the second fundamental form of the initial hypersurface satisfies a pinching condition.

研究の動機と目的

• 毛 (2013) が提起した幾何的フロー下での固有値単調性に関する問題1に応えること。
• リッチフローに対するペレラの単調性結果を、強制項を含む平均曲率フローへ拡張すること。
• ラプラシアンおよびp-ラプラシアン作用素の第一固有値がフロー中に単調を保つための条件を導出すること。
• 第二基本形式のピッチング条件を仮定することで、ラプラシアンの第一非ゼロ閉固有値に対する下界を確立すること。
• パラメータの違いにより、$\lambda_1(t)$ と $\lambda_{1,p}(t)$ の単調性挙動が一致しないこと、すなわち $p=2$ が $p$-ラプラシアンの特別な場合であるにもかかわらず、その挙動が異なることを示すこと。

提案手法

• 時間に依存する強制項 $\kappa(t)$ を持つ強制平均曲率フロー下でのラプラシアンの第一固有値 $\lambda_1(t)$ の時間発展を分析する。
• 最大原理および曲率推定を適用し、第一固有関数 $u$ 及びその勾配 $\nabla u$ を用いて $\lambda_1(t)$ に関する微分不等式を導出する。
• 鍵となる発展不等式：$\frac{d}{dt}\lambda_1(t) \leq 2\lambda_1\left[-\kappa(t) + \left(\frac{1}{n} + \frac{5}{2}\epsilon\right)\rho^2\right]$ を導出し、これが単調性を決定する。
• p-ラプラシアンの場合、p-エネルギー汎関数およびp-ラプラシアン固有値 $\lambda_{1,p}(t)$ を用いた類似のアプローチを採用し、$\frac{d}{dt}\lambda_{1,p}(t) \geq p\lambda_{1,p}\left[-\kappa(t) + \left(\frac{1}{n} - \frac{p+3}{p}\epsilon\right)\sigma^2\right]$ を得る。
• 第二基本形式にピッチング条件を課すことにより、追加の曲率制約なしにラプラシアンの第一非ゼロ固有値に対する下界を導出する。
• ルベーグ微分定理を用いて $\lambda_1(t)$ 及び $\lambda_{1,p}(t)$ のほとんど everywhere での微分可能性を確立し、積分に基づく単調性証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強制平均曲率フロー下で、ラプラシアン作用素の第一固有値がどのような条件下で単調になるか？
• RQ2 同じフロー下で、p-ラプラシアン作用素の第一固有値の単調性を確立できるか。また、ラプラシアンの場合と比較するとどうなるか？
• RQ3 強制項 $\kappa(t)$ は固有値の単調性の方向を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 第二基本形式にピッチング条件が与えられた場合、追加の曲率仮定なしにラプラシアンの第一非ゼロ固有値に対する下界を導出できるか？
• RQ5 $\lambda_1(t)$ および $\lambda_{1,p}(t)$ の発展方程式はどのように異なり、なぜラプラシアンの証明をp-ラプラシアンの場合に直接適用できないのか？

主な発見

• 強制平均曲率フロー下で、ラプラシアンの第一固有値 $\lambda_1(t)$ は $\rho^2 \leq n\kappa(t)$ を満たすとき非増加である。ここで $\rho^2$ は第二基本形式に関連する幾何的量である。
• 同じフロー下で、p-ラプラシアンの第一固有値 $\lambda_{1,p}(t)$ は $\sigma^2 \geq n\kappa(t)$ を満たすとき非減少である。ここで $\sigma^2$ は関連する幾何定数である。
• 同じ仮定のもとでも、$\lambda_1(t)$ と $\lambda_{1,p}(t)$ の単調性挙動は同一ではない。$p=2$ のとき $\lambda_1(t)$ は $\lambda_{1,p}(t)$ の特別な場合であるが、発展方程式の違いにより挙動が異なる。
• 第二基本形式にピッチング条件を課すと、追加の曲率制約なしにラプラシアンの第一非ゼロ閉固有値に正の下界が存在する。
• $\lambda_1(t)$ 及び $\lambda_{1,p}(t)$ は $[0, T_{\text{m}})$ 上でほとんど everywhere で微分可能であり、積分に基づく単調性証明が可能になる。
• フローの最大存在時刻 $T_{\text{m}}$ は $\Xi = \infty$ のとき有限であり、$0 < \Xi < \infty$ または $\Xi = 0$ のとき無限大である。これにより、時間積分 $\widetilde{T}_{\text{m}} = \int_0^{T_{\text{m}}} \phi^2(s)ds$ に影響を及ぼす。