[論文レビュー] Motivation to Run in One-Day Cricket

Paramahansa Pramanik, Alan M. Polansky|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2020

Sports Analytics and Performance被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一戦方式のクリケットにおけるチームスコアの最適化を図るため、Feynman経路積分に基づく新規モデルを提案する。このモデルは、最近の選手パフォーマンスの双曲的割引、天候および試合状況下での確率的ラン動態、そして量子にインspiredされた経路積分技術を統合し、雨天中止を伴う打順とチーム戦略の最適化を実現する。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new methodology to determine an optimal coefficient for a positive finite measure of batting average, strike rate, and bowling average of a player in order to get an optimal score of a team under dynamic modeling using a path integral method. We also introduce new run dynamics modeled as a stochastic differential equation in order to incorporate the average weather conditions at the cricket ground, the weather condition on the day of the match including sudden deterioration which leads to a partial or complete stop of the game, total attendance, and home field advantage.

研究の動機と目的

• 変動する環境的・試合的条件下における一戦方式クリケットのチームスコアを予測するための動的で数学的に厳密なモデルの開発。
• Duckworth-Lewisなどの既存の雨天補償手法の限界を克服するため、確率的ラン動態と双曲的割引による選手固有のパフォーマンスの衰減を統合すること。
• 最近のパフォーマンスと戦略的役割を反映する最適係数（$\beta^*$）を導出することにより、データドリブンな打順意思決定を可能にする。
• 天候的混乱とホームアドバンテージの影響を、ドリフト項と拡散項を有する確率微分方程式（SDE）を用いてモデル化すること。
• Feynman、Itô-Henstock-Kurzweil-McShaneの量子にインスパイアされた経路積分技術を応用し、不確実性下での最適チーム戦略を解くこと。

提案手法

• 選手の直近10試合のパフォーマンスに、双曲的割引（$\exp(-\rho_i m)$）を適用し、最近のパフォーマンスに高い重みを付けることで、期待貢献の推定を実現する。
• チームスコアの目的関数を、割引された個々の選手スコアの重み付き和として定義し、選手の評価（平均打率、ストライクレート、フォーリング平均）に応じた重み（$\beta_i$）を決定する。
• 天候、観客数、相手のボーラー行動を組み込んだ、正のドリフト（$\hat{\bm{\mu}}$）と拡散（$\bm{\sigma}$）を有する確率微分方程式（SDE）を用いてラン動態をモデル化する。
• 拡散係数を$\bm{\sigma}_1$（会場および天候要因）と$\bm{\sigma}_2^*$（フラクタル次元空間を用いた相手戦略のモデル化と複素特性関数）に分解する。
• Wick回転とRiemann-Lebesgue補題を用いて、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式を解ける確率的経路積分に変換することで、Feynmanの定式化による経路積分法を適用する。
• 経路積分から導出されたシュレーディンガー型方程式を解くことにより、動的条件下での安定性と最適性を保証する最適係数$\beta^*(\mathbf{Z})$を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一戦方式クリケットにおけるチームスコア予測において、選手パフォーマンスを時間的に最適に重みづける方法は何か？特に、最近の調子が過去より重要である場合に有効な手法は？
• RQ2 選手の評価、最近のパフォーマンス、戦略的役割をバランスさせる最適係数$\beta^*$は何か？
• RQ3 天候の変動および試合の中断を伴う条件下での確率的ラン動態を、測定可能なドリフト項と拡散項を有するSDEでどのようにモデル化できるか？
• RQ4 経路積分法は、従来の動的プログラミングやハミルトニアン・ジャコビ・ベルマンアプローチに比べ、クリケットスコアリングモデルに対してより扱いやすい解法を提供するのか？
• RQ5 雨、風、フィールドの湿り具合といった環境要因がランレートに与える影響は何か？また、それらをリアルタイム戦略最適化の確率的フレームワークに統合する方法は？

主な発見

• 最適係数$\beta^*(\mathbf{Z})$は、選手のパフォーマンス、チーム状態、環境条件の関数として導出され、動的打順選択を可能にする。
• モデルは、平均打率（>50）とストライクレート（>85）が非常に高い選手が$W_i(u)$において非常に大きな有限の値を有することを示し、戦略的意義を反映している。
• すべての選手に対して$\beta_i = \beta_j = \beta^*$が成り立つ場合、最適係数は、選手評価$\mathbf{W}$に関するドリフト項と拡散項の勾配関数として表現される。
• 経路積分定式化により、予測不可能な相手戦略や環境のボラティリティをモデル化する量子的効果（例：$\exp[\varphi(\mathfrak{u})\sqrt{8/3}]$）の組み込みが可能となる。
• 雨天中止の影響を、$\delta_{\mathfrak{u}}$-ゲージを用いたウィーナー過程としての持続時間のモデル化により扱い、中止後のラン動態の連続性を保証する。
• 解は$\tilde{\varepsilon} \downarrow 0$において収束し、Riemann-Lebesgue補題により経路積分の安定性と可測性が保証される。