[論文レビュー] Motivic classes of moduli of Higgs bundles and moduli of bundles with connections

Roman Fedorov, Alexander Soibelman+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、標数0の体上の滑らかで射影的な曲線の上で、半安定Higgs束および接続を備えたベクトル束のモジュライスタックのモチビック類を計算する。モチビックHall代数の技術と、Eisenstein級数に関するHarderの定理のモチビック一般化を用いて、ランク $ r $ で次数0の接続を備えたベクトル束のモジュライスタックのモチビック類が、同じランクと次数0の半安定Higgs束のそれと等しいことを確立する。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective curve over a field of characteristic zero. We calculate the motivic class of the moduli stack of semistable Higgs bundles on X. We also calculate the motivic class of the moduli stack of vector bundles with connections by showing that it is equal to the class of the stack of semistable Higgs bundles of the same rank and degree zero. We follow the strategy of Mozgovoy and Schiffmann for counting Higgs bundles over finite fields. The main new ingredient is a motivic version of a theorem of Harder about Eisenstein series claiming that all vector bundles have approximately the same motivic class of Borel reductions as the degree of Borel reduction tends to $-\infty$.

研究の動機と目的

• 標数0の体上の滑らかで射影的な曲線の上で、半安定Higgs束のモジュライスタックのモチビック類を計算すること。
• ランク $ r $ および次数0のベクトル束と接続のモジュライスタックと、半安定Higgs束のモジュライスタックとの間のモチビック同値性を確立すること。
• Eisenstein級数に関するHarderの定理のモチビック版を構築し、次数が $-∞$ に近づくにつれて、ベクトル束のBorel還元のモチビック類が漸近的に等しくなることを示すこと。
• ホモロジー次元2のカテゴリ、例えばHiggs束や接続のカテゴリに対して、モチビックDonaldson–Thomas不変量の枠組みを拡張すること。
• モチビックHall代数の文脈において、モチビックゼータ関数および生成関数の明示的公式を導出すること。

提案手法

• 可換層のスタックおよびそのフィルトレーション（特にHN-フィルトレーション）を分析するために、モチビックHall代数の枠組みを用いる。
• Eisenstein級数に関するHarderの定理のモチビック版を適用し、次数が $-∞$ に近づくにつれて、Borel還元のモチビック類が安定化することを証明する。
• モチビックHall代数におけるKontsevich–Soibelmanの積構造を用いて、Higgs束と接続を備えたベクトル束との関係を確立する。
• 無限和のモチビック類を扱うために、完成化モチビック環 $\overline{\mathrm{Mot}}(\mathbf{k})$ を用い、生成関数の収束を可能にする。
• HN型および純自由部へのスタックの層化を用い、一般点を介したファイバーごとのモチビック類の比較を行う。
• モチビックHall代数における $\operatorname{Exp}$ および $\operatorname{Pow}$ 演算を用いて、冪零自己準同型を持つHN-非負の可換層の生成関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標数0の体上の滑らかで射影的な曲線の上で、ランク $ r $ および次数 $ d $ の半安定Higgs束のモジュライスタックのモチビック類は何か？
• RQ2 モチビック設定において、Higgs束のモジュライスタックと接続を備えたベクトル束のモジュライスタックのモチビック類はどのように関係しているか？
• RQ3 Borel還元のモチビック類が漸近的に等しくなることを示すEisenstein級数に関するHarderの定理のモチビック類似を確立できるか？
• RQ4 モチビックHall代数の技術を用いて、Higgs束および接続を備えたベクトル束のモチビックゼータ関数の明示的公式を導出できるか？
• RQ5 冪零自己準同型を持つHN-非負の可換層のモチビック類は、Higgs束および接続のそれらとどのように関係しているか？

主な発見

• ランク $ r $ および次数 $ d $ の半安定Higgs束のモジュライスタック $\mathcal{M}_{r,d}^{ss}$ のモチビック類は、モチビックHall代数の技術を用いて明示的に計算された。
• ランク $ r $ および次数0の接続を備えたベクトル束のモジュライスタックのモチビック類は、ランク $ r $ および次数0の半安定Higgs束のモジュライスタック $\mathcal{M}_{r,0}^{ss}$ のそれと等しいことが示された。
• Harderの定理のモチビック版が証明された：Borel還元の次数が $-∞$ に近づくにつれて、それらのモチビック類は共通の極限に安定化する。
• 冪零自己準同型を持つHN-非負の可換層のモチビック類の生成関数は、$\sum_{r,d\geq 0}["]\mathbb{L}^{(g-1)\langle\lambda,\lambda\rangle}J_{\lambda}^{mot}(z)H_{\lambda}^{mot}(z)w^{| \lambda|}\cdot\operatorname{Exp}\left(\frac{[X]}{\mathbb{L}-1}\cdot\frac{z}{1-z}\right)$ で与えられる。
• 半安定Higgs束のスタックのモチビックゼータ関数は、スロープごとの積として表現され、各因子はモチビックHall代数における $\operatorname{Exp}$ および $\operatorname{Pow}$ 演算を含む。
• 証明は、一般点を介したファイバーごとのモチビック類の比較と、冪零コーンと自己準同型代数の直和分解との同型を用いる。