[論文レビュー] MRD-codes arising from the trinomial $x^q+x^{q^3}+cx^{q^5}\in\mathbb{F}_{q^6}[x]$

Giuseppe Marino, Maria Montanucci+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{F}_q^6[x]$ 上の三項式 $x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ を用いて、$\mathbb{F}_q^{6\times6}$ 内で次元 12、最小距離 5、左イデアル化子が $\mathbb{F}_q^6$ に同型である新しい $\mathbb{F}_q$-線形 MRD コードを構成する。すべての奇数 $q$ に対してこれらのコードが存在することを証明し、従来の知られていた MRD コードとは同値でないことを示し、$\mathrm{PG}(1,q^6)$ 内で $\mathrm{P\Gamma L}(2,q^6)$ に関して同値でない最大散乱線形集合を生成する。

ABSTRACT

In [10], the existence of $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes of $\mathbb{F}_q^{6 imes 6}$, with dimension $12$, minimum distance $5$ and left idealiser isomorphic to $\mathbb{F}_{q^6}$, defined by a trinomial of $\mathbb{F}_{q^6}[x]$, when $q$ is odd and $q\equiv 0,\pm 1\pmod 5$, has been proved. In this paper we show that this family produces $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes of $\mathbb{F}_q^{6 imes 6}$, with the same properties, also in the remaining $q$ odd cases, but not in the $q$ even case. These MRD-codes are not equivalent to the previously known MRD-codes. We also prove that the corresponding maximum scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^6)$ are not $\mathrm{P}Γ\mathrm{L}(2,q^6)$-equivalent to any previously known scattered linear set.

研究の動機と目的

• $q \equiv 0, \pm1 \pmod{5}$ の場合に限られていた $\mathbb{F}_q^{6\times6}$ 内の $\mathbb{F}_q$-線形 MRD コードの構成を、それらを越えて拡張すること。
• 三項式 $x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ から得られる MRD コードが、すべての奇数 $q$ に対して存在することを証明すること。
• これらの新しい MRD コードが、標準的な同値関係のもとで、あらかじめ知られていたすべての MRD コードとは同値でないことを確立すること。
• $\mathrm{PG}(1,q^6)$ 内の関連する最大散乱線形集合が、$\mathrm{P\Gamma L}(2,q^6)$ に関して、あらかじめ知られていた線形集合とは同値でないことを示すこと。
• 多項式 $f(x) = x^q + \sum_{i=1}^{n-1} a_{2i+1} x^{q^{2i+1}}$ を持つ $\mathbb{F}_q^{2n}[x]$ 内の多項式のより広いクラスから、適切な係数条件のもとでこのようなコードが得られる可能性を検討すること。

提案手法

• 著者たちは、線形化多項式およびそれらに関連する線形写像の理論を用いて、$\mathbb{F}_q^6$ 上の $q$-多項式 $f(x) = x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ の核とランクを分析する。
• 彼らは、$\mathbb{F}_q^6$ から $\mathbb{F}_q^6 \times \mathbb{F}_q^6$ への写像 $x \mapsto (x, f(x))$ に対応する行列の集合として $\mathbb{F}_q$-線形コード $\mathcal{C}$ を定義し、次元 12 の部分空間をなす。
• 最小距離 5 は、$x \neq y$ のとき $f(x) - f(y)$ のランクが 5 以上であることを示すことにより検証される。これは $f(x) - f(y)$ の核の性質を用いる。
• 関連する線形写像の自己準同型環の代数的構造を分析することにより、コードの左イデアル化子が $\mathbb{F}_q^6$ に同型であることが示される。
• 線形集合 $L_c$ は、ベクトル $(x, f(x))$ が張る $\mathbb{F}_q$-直線の集合として定義され、$c^2 + c = 1$ および $q$ が奇数であるという条件を用いて、その最大性と散乱性が証明される。
• 線形集合の同値性は、部分直線内の点の数などの不変量を用いてテストされ、$\mathrm{P\Gamma L}(2,q^6)$ の下で特定の自己同型が存在しないことにより非同値性が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三項式 $x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ が $\mathbb{F}_q^6[x]$ 上で、$q \equiv \pm2 \pmod{5}$ を含むすべての奇数 $q$ に対して $\mathbb{F}_q$-線形 MRD コードを生成するか？
• RQ2 この三項式から得られる MRD コードが、同じパラメータを持つあらかじめ知られていたすべての $\mathbb{F}_q$-線形 MRD コードとは同値でないか？
• RQ3 $U_c = \{(x, x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}) \mid x \in \mathbb{F}_q^6\}$ によって定義される最大散乱線形集合 $L_c$ が、$\mathrm{PG}(1,q^6)$ 内で $\mathrm{P\Gamma L}(2,q^6)$ に関して、あらかじめ知られていた最大散乱線形集合とは同値でないか？
• RQ4 パラメータ $n$ をより大きくしても、$f(x) = x^q + \sum_{i=1}^{n-1} a_{2i+1} x^{q^{2i+1}}$ の形をした多項式 $f(x) \in \mathbb{F}_q^{2n}[x]$ を用いて構成を一般化できるか？
• RQ5 この三項式族から得られる MRD コードが、双対性または転置操作に関して閉じた新しい族を形成するか？

主な発見

• すべての奇数 $q$ に対して、$\mathbb{F}_q^{6\times6}$ 内の $f(x) = x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ から生成される MRD コードは、次元 12、最小距離 5、左イデアル化子が $\mathbb{F}_q^6$ に同型である。$q \equiv \pm2 \pmod{5}$ の場合も含む。
• この構成により、同じパラメータを持つあらかじめ知られていた $\mathbb{F}_q$-線形 MRD コードとは同値でない新しい MRD コードが得られる。
• $c^2 + c = 1$ を満たす $L_c$ は、$q$ が奇数である場合に限り散乱的である。
• $q \equiv \pm2 \pmod{5}$ の場合、線形集合 $L_c$ は $\mathrm{PG}(1,q^6)$ 内で $\mathrm{P\Gamma L}(2,q^6)$ に関して、あらかじめ知られていた最大散乱線形集合とは同値でない。
• 表 1 の計算結果から、$q \leq 64$ の偶数についても、適切な $c$（例：$a_5$）の選択により MRD コードが得られることを示しており、より広い族が存在する可能性を示唆している。
• 著者たちは、$\mathbb{F}_q^{2n}[x]$ 内の奇数次項をもつ多項式のより広いクラスから、特定の代数的制約を満たす係数を持つものとして、このようなコードが得られると予想している。