[論文レビュー] MSOL-Definability Equals Recognizability for Halin Graphs and Bounded Degree $k$-Outerplanar Graphs

Lars Jaffke, Hans L. Bodlaender|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Halinグラフおよび有界次数の$k$-外平面グラフにおいて、任意の認識可能グラフ性質が単項第二階論理（MSOL）で定義可能であることを証明する。これは、カウント演算子を必要としないという点で、カーデルの予想を強化するものである。著者らはMSOLで定義可能な木分解を導入し、マイヒル＝ネロード理論を用いて、端末部分グラフの同値類がMSOLで捉えられることを示し、これらのグラフクラスにおける性質の線形時間認識を可能にする。

ABSTRACT

One of the most famous algorithmic meta-theorems states that every graph property that can be defined by a sentence in counting monadic second order logic (CMSOL) can be checked in linear time for graphs of bounded treewidth, which is known as Courcelle's Theorem. These algorithms are constructed as finite state tree automata, and hence every CMSOL-definable graph property is recognizable. Courcelle also conjectured that the converse holds, i.e. every recognizable graph property is definable in CMSOL for graphs of bounded treewidth. We prove this conjecture for a number of special cases in a stronger form. That is, we show that each recognizable property is definable in MSOL, i.e. the counting operation is not needed in our expressions. We give proofs for Halin graphs, bounded degree $k$-outerplanar graphs and some related graph classes. We furthermore show that the conjecture holds for any graph class that admits tree decompositions that can be defined in MSOL, thus providing a useful tool for future proofs.

研究の動機と目的

• 有界幅木幅を持つグラフにおける認識可能なグラフ性質が、CMSOLで定義可能であるというカーデルの予想の特殊ケースを解決すること。
• Halinグラフおよび有界次数の$k$-外平面グラフにおいて、カウント演算子を含まないMSOLで十分であることを示すことにより、予想を強化すること。
• MSOLで定義可能な木分解を導入し、グラフクラスにおけるMSOLで定義可能な性質を示す一般的手法として用いること。
• 任意のグラフクラスがMSOLで定義可能な木分解を備えるならば、MSOLで定義可能な性質と認識可能性が等価であるという性質を満たすことを示す枠組みを提供すること。
• 3連結性やハミルトン性が、MSOLで定義可能な性質の証明においてカウント演算子の必要性を回避するために必要な条件であるかどうかを調査することで、MSOLとCMSOLの境界を明らかにすること。

提案手法

• 端末部分グラフにおける有限指数の同値関係によって認識可能性を特徴づける、グラフのマイヒル＝ネロード理論を活用する。
• 有界次数やフィードバック集合の上限といった構造的性質を用いて、Halinグラフおよび有界次数の$k$-外平面グラフのMSOLで定義可能な木分解を構築する。
• 認識関係における同値類の有限性を用いて、端末部分グラフの型を追跡するMSOL論理式を構築する。
• 木分解における子ノードの同値類が、MSOLで定義可能な操作を用いて親ノードの同値類に統合可能であることを証明する。
• 木分解の基本的述語（例：Bag, Parent、およびエッジ/頂点のメモリ番号）が、グラフが有界次数または有界フィードバック集合を持つ場合にMSOLで定義可能であることを示す。
• 既知の木幅の上限（例：$k$-外平面グラフでは$3k-1$）を適用し、MSOLで定義可能な全域木を用いて必要な木分解を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カーデルの予想は、特定のグラフクラスにおいて、CMSOLで定義可能であるのではなく、MSOLで定義可能であるという形に強化可能か？
• RQ2 どのグラフクラスにおいて、MSOLで定義可能な木分解の存在が、認識可能性とMSOLで定義可能な性質の等価性を示すか？
• RQ3 3連結性やハミルトン性は、MSOLで定義可能な性質の証明においてカウント演算子の必要性を回避するために必須の条件か？
• RQ4 Halinおよび$k$-外平面グラフを超える他のグラフクラスに対しても、MSOLで定義可能な木分解の構築を一般化可能か？
• RQ5 MSOLで定義可能な認識可能な性質を可能にする最小の構造的条件（例：有界次数、有界フィードバック集合）は何か？

主な発見

• Halinグラフ（木幅3）において、MSOLで定義可能な性質と認識可能性が等価であり、カウント演算子を必要としないという点で、この結果は強化されている。
• 有界次数の$k$-外平面グラフにおいて、本稿は、任意の認識可能な性質がMSOLで定義可能であることを証明しており、木分解幅は$k$および最大次数$\Delta$に依存する定数で有界である。
• MSOLで定義可能な有界幅の木分解を備える任意のグラフクラスは、MSOLで定義可能な性質と認識可能性が等価であるという性質を満たすことが確立された。
• 最大次数が定数である場合、頂点およびエッジのメモリ番号が有界な全域木の探索がMSOLで定義可能であり、これによりMSOLで定義可能な木分解の構築が可能である。
• 最大次数$\Delta$の$k$-外平面グラフに対して、$er(G,T) \leq 2k$および$vr(G,T) \leq \Delta k - 1$を満たす最大全域森林$T$が存在し、これにより有界幅のMSOLで定義可能な木分解が得られる。
• マイヒル＝ネロード同値類の伝播を木分解に沿って行う証明技法がMSOLで定義可能であることが示され、将来的な応用のための一般枠組みが提供された。