[論文レビュー] Multi-component generalization of Camassa-Holm equation

Baoqiang Xia, Zhijun Qiao|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2N個の成分と任意の滑らかな関数Hを備えた、Camassa-Holm方程式の多成分一般化であるCH(N,H)を提案する。この系はLax対と無限個の保存則を有し、特定のHの選択に対して二ハンチルトン構造を示し、特にN=2の場合には静止ピークオンを有する新しい可積分モデルを導出する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a multi-component system of Camassa-Holm equation, denoted by CH($N$,$H$) with 2N components and an arbitrary smooth function $H$. This system is shown to admit Lax pair and infinitely many conservation laws. We particularly study the case of N=2 and derive the bi-Hamiltonian structures and peaked soliton (peakon) solutions for some examples.

研究の動機と目的

• 任意の滑らかな関数Hを有する多成分系へのCamassa-Holm方程式の一般化を図ること。これは既知のピークオン方程式を拡張する。
• Lax対と無限個の保存則を用いて、系の可積分性を確立すること。
• 特定のHの選択に対して、二ハンチルトン構造の存在を調査すること。
• 特にN=2の場合の明示的ピークオン解を導出し、静止ピークオンを有する新しい可積分モデルを同定すること。

提案手法

• m_j, n_j, u_j, v_j および任意の滑らかな関数Hを含む、2N個の成分からなる系（CH(N,H)）を、偏微分方程式の連立系として定式化する。
• スカラーパラメータλを有する(N+1)×(N+1)行列スペクトル問題を用いてLax対を導出する。
• m, n, u, v およびHに依存するUおよびV作用素を有する行列形式でのLax対を構築する。
• Lax対の整合性条件が元の系（4）を導くことを示し、可積分性を確認する。
• N=2の場合に、特定のHの選択に対して、相性の良いハンチルトン作用素を同定することにより、二ハンチルトン構造を導出する。
• デルタ関数を用いたアンザッツを用いてN-ピークオン解を構築し、ピークオンパラメータ（q_j, p_j, r_j, s_j, w_j）の力学系を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかなHに対して、多成分CH(N,H)系はLax対と無限個の保存則を有するか？
• RQ2 任意関数Hの特定の選択に対して、二ハンチルトン構造を同定できるか？
• RQ3 N=2の場合の明示的ピークオン解は何か？ また、それらは静止解を含むか？
• RQ4 ピークオンの力学的挙動はどのように進展するか？ それらを支配する対称性や保存則は何か？
• RQ5 ゲージ変換を用いて、Lax対から任意関数Hを消去できるか？

主な発見

• 任意の滑らかな関数Hに対して、多成分CH(N,H)系はLax対と無限個の保存則を有する。
• Hの特定の選択（例：N=2の場合）に対して、系は二ハンチルトン構造を有し、それらの状況で可積分性が確認される。
• N=2の場合に、静止ピークオンを有する新しい可積分モデルが同定され、これは標準的なCH方程式に存在しない画期的な特徴である。
• ピークオン解は、ピークオンパラメータ（q_j, p_j, r_j, s_j, w_j）の5N個の常微分方程式系を用いて導出され、N=1の場合に明示的に解かれる。
• N=1の場合、系は既知の式に還元される：H = -u_1のとき標準CH方程式、H = -½(u_1² - u_{1,x}²)のとき立方CH方程式。
• N=2の場合の5N-ピークオン力学系は、符号関数と指数的減衰項を含む係数を有する形で明示的に導出され、複雑なピークオン相互作用を示す。