[論文レビュー] Multi-level Compressed Sensing Petrov-Galerkin discretization of high-dimensional parametric PDEs

Jean-Luc Bouchot, Holger Rauhut+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 44被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、高次元パラメトリックPDEを解くための多層圧縮センシングペトロフ・ガレルキン（MLCSPG）法を提案する。この手法は、多層離散化と重み付きℓ₁最小化による圧縮センシングを組み合わせ、各層間の解の差のスパースな一般化パラメトリッククラウス（gPC）展開を再構築する。収束率はモンテカルロ法の1/2より優れ、次元に依存しない。計算作業は、定数を除いて、最細層のPG解と漸近的に同等であり、事前構造的仮定（例：下向き閉じたインデックス集合）を必要としない。

ABSTRACT

We analyze a novel multi-level version of a recently introduced compressed sensing (CS) Petrov-Galerkin (PG) method from [H. Rauhut and Ch. Schwab: Compressive Sensing Petrov-Galerkin approximation of high-dimensional parametric operator equations, Math. Comp. 304(2017) 661-700] for the solution of many-parametric partial differential equations. We propose to use multi-level PG discretizations, based on a hierarchy of nested finite dimensional subspaces, and to reconstruct parametric solutions at each level from level-dependent random samples of the high-dimensional parameter space via CS methods such as weighted l1-minimization. For affine parametric, linear operator equations, we prove that our approach allows to approximate the parametric solution with (almost) optimal convergence order as specified by certain summability properties of the coefficient sequence in a general polynomial chaos expansion of the parametric solution and by the convergence order of the PG discretization in the physical variables. The computations of the parameter samples of the PDE solution is "embarrassingly parallel", as in Monte-Carlo Methods. Contrary to other recent approaches, and as already noted in [A. Doostan and H. Owhadi: A non-adapted sparse approximation of PDEs with stochastic inputs. JCP 230(2011) 3015-3034] the optimality of the computed approximations does not require a-priori assumptions on ordering and structure of the index sets of the largest gpc coefficients (such as the "downward closed" property). We prove that under certain assumptions work versus accuracy of the new algorithms is asymptotically equal to that of one PG solve for the corresponding nominal problem on the finest discretization level up to a constant.

研究の動機と目的

• 不確実性定量化における高次元パラメトリックPDEの次元の呪いに対処すること。
• モンテカルロ法より速い収束を達成する非侵襲的かつ並列化可能な手法を開発すること。
• gPC係数のスパース構造に関する事前仮定（例：下向き閉じた集合）を排除すること。
• 多層離散化と圧縮センシングを組み合わせ、階層的レベル間での効率的な解再構築を実現すること。
• パラメトリック次元に依存しない最適な収束率を達成すること。gPC係数のスパarsityを活用する。

提案手法

• ペトロフ・ガレルキン（PG）離散化を、細分化が進むレベルでネストされた有限次元部分空間の階層を用いて実装する。
• パラメータ空間からのランダムサンプルを用い、連続するレベル間のPG解の差を、重み付きℓ₁最小化による圧縮センシングで再構築する。
• 解の差のgPC展開が近似的にスパースであることが示され、0 < p < 1における制御されたℓ_pノルム推定のもとで、高い確率で安定回復が可能である。
• 最終的なパラメトリック解は、各レベルで回復された差の和として再構築され、最も細かいレベルの離散化と整合性を保つ。
• CS手法の背後にある確率測度に関して直交するチビシェフgPC展開を用いることで、係数の回復が安定になる。
• アルゴリズムは非侵襲的かつ容易に並列化可能であり、各パラメータサンプルは既存のPGソルバを独立して使用して解ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多層圧縮センシング手法は、gPC係数のスパース構造に関する構造的仮定を必要とせずに、高次元パラメトリックPDEに対してモンテカルロ法より速い収束を達成できるか？
• RQ2 提案されたMLCSPG法は、改善された収束率を達成しながらも、単一の最細層PG解と同等の計算効率を維持できるか？
• RQ3 活性インデックスの下向き閉じた性質を仮定せずとも、各レベル間の解の差のgPC係数列のスパarsityを活用できるか？
• RQ4 収束率がgPC係数列のsummability性およびPG離散化の安定性にどの程度依存するか？
• RQ5 MLCSPG法の作業-精度トレードオフは、単層CS-PGおよび多層モンテカルロ（MLMC）法と比べてどのように異なるか？

主な発見

• MLCSPG法は、次元に依存しない収束率を達成し、モンテカルロ法の1/2を上回る。適切なスパース性仮定のもとで、1/2をはるかに上回る可能性がある。
• 与えられた精度に到達するための計算作業は、スムーズ性およびp∈(0,1)に依存する定数を除いて、最細層のPG解と漸近的に同等である。
• gPC係数のスパース構造（例：下向き閉じた集合）に関する事前知識を必要とせず、一部のスパースグリッドや適応的手法とは異なり、この仮定を不要にする。
• 各レベル間の解の差のgPC展開は、0 < p < 1における制御されたℓ_pノルム推定で定量化された近似的にスパースであるため、圧縮センシングによる安定回復が可能である。
• この手法は非侵襲的かつ並列化可能であり、各パラメータサンプルが独立して評価可能で、モンテカルロ法と同様の性質を有する。
• アルゴリズムを変更することなく、gPC係数のより良いsummability性を活用でき、正則性の向上した問題に適応可能である。