[論文レビュー] Multi-level higher order QMC Galerkin discretization for affine parametric operator equations

Josef Dick, Frances Y. Kuo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、アフィンパラメトリック作用素方程式に対する、入れ子多項式ラティス則とペトロフ・ガレルキン有限要素法を組み合わせた、多次元の高次の準モンテカルロ（QMC）ガレルキン離散化を提案する。楕円型および放物型PDEに確率的入力を適用した場合、適切な正則性条件下で、作業量に対する最適収束率 $Ó(\varepsilon^{-3/2})$ を達成し、単一レベルの手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

We develop a convergence analysis of a multi-level algorithm combining higher order quasi-Monte Carlo (QMC) quadratures with general Petrov-Galerkin discretizations of countably affine parametric operator equations of elliptic and parabolic type, extending both the multi-level first order analysis in [\emph{F.Y.~Kuo, Ch.~Schwab, and I.H.~Sloan, Multi-level quasi-Monte Carlo finite element methods for a class of elliptic partial differential equations with random coefficient} (in review)] and the single level higher order analysis in [\emph{J.~Dick, F.Y.~Kuo, Q.T.~Le~Gia, D.~Nuyens, and Ch.~Schwab, Higher order QMC Galerkin discretization for parametric operator equations} (in review)]. We cover, in particular, both definite as well as indefinite, strongly elliptic systems of partial differential equations (PDEs) in non-smooth domains, and discuss in detail the impact of higher order derivatives of {\KL} eigenfunctions in the parametrization of random PDE inputs on the convergence results. Based on our \emph{a-priori} error bounds, concrete choices of algorithm parameters are proposed in order to achieve a prescribed accuracy under minimal computational work. Problem classes and sufficient conditions on data are identified where multi-level higher order QMC Petrov-Galerkin algorithms outperform the corresponding single level versions of these algorithms. Numerical experiments confirm the theoretical results.

研究の動機と目的

• パラメトリック作用素方程式に確率的入力を適用するための多次元高次QMCアルゴリズムの開発。
• 既存の単一レベル高次QMC手法を、計算効率を向上させる多次元フレームワークに拡張すること。
• 非滑らかな領域における定義域と不定型、強い強楕円型系の両方について、収束速度と作業複雑度の分析。
• 最適収束を保証するパラメトリック作用素およびカルフネン＝ローブ固有関数の十分条件の同定。
• 所望の精度を達成するための事前誤差境界とアルゴリズムパラメータの選定、最小限の計算コストでの最適化。

提案手法

• 無限次元積分のための、高次準モンテカルロ数値積分と多次元ペトロフ・ガレルキン有限要素離散化を組み合わせる。
• パラメトリック作用素係数の衰減特性に基づく、SPOD重みを有する入れ子多項式ラティス則を採用する。
• 各レベル $\ell = 0, \dots, L$ において、$h_\ell = 2^{-(\ell+1)}$ と $s_\ell = \min(2^{4\ell}, 2^L)$ で表される階層的メッシュの細分化戦略を用いる。
• 底 $b=2$ およびウォルシュ定数 $C=1.0$ の高速CBC構成法により生成ベクトルを構築し、固有関数の正則性に基づく問題固有の重み $\beta_{j}$ を使用する。
• 確率的（QMC）および空間的（有限要素）成分に分解される事前誤差境界を導出し、最適なパrameter選定を可能にする。
• 収束率の数値的検証のため、$L=9$ で $s=1024$、$N=2^{20}$ ポイントの基準解を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次QMC手法を、パラメトリックPDEの収束速度を向上させるために、多次元有限要素離散化と効果的に組み合わせることができるか？
• RQ2 多次元高次QMC設定において、最適収束を保証するためのパラメトリック作用素構造および固有関数正則性の十分条件は何か？
• RQ3 所望の精度 $\varepsilon$ に対して、多次元高次QMC手法の作業複雑度はどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 どのような問題クラスにおいて、多次元手法が単一レベル高次QMCアルゴリズムを上回るか？
• RQ5 理論的誤差境界は実際の計算で達成可能か？また、アルゴリズムパラメータは観測された収束にどのように影響するか？

主な発見

• 多次元高次QMCアルゴリズムは、対象精度 $\varepsilon > 0$ に対して作業量の複雑度が $\mathcal{O}(\varepsilon^{-3/2})$ であることが確認された（対数因子を無視して）。
• 理論的収束速度 $\mathcal{O}(\varepsilon^{-3/2})$ が数値的に確認され、誤差対作業量プロットの勾配が $-2/3$ に一致した。
• カルフネン＝ローブ固有関数が十分に滑らかである場合、作業効率の観点で、単一レベルQMCアルゴリズムを上回る。
• $A_j$ 作用素の衰減に合わせて調整されたSPOD重みを有する入れ子多項式ラティス則の使用により、確率的次元における高次収束が確保された。
• 切断次元および各レベルにおけるQMC点数といったアルゴリズムパラメータは、事前誤差境界に基づいて選定可能であり、最適な性能を達成できる。
• $L=8$ を用いた数値実験と $L=9$ の基準解を用いた検証により、理論的収束速度が実際の計算でも達成されていることが確認された。