[論文レビュー] Multi-stage waveform Relaxation and Multisplitting Methods for Differential Algebraic Systems

Jürgen Geiser|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、微分代数方程式（DAEs）を解くために、階層的行列分割と並列反復ソルバーを組み合わせた、マルチステージ波形緩和（MSWR）およびマルチスプリット法を提案する。システムを外側と内側の反復に分解することで、最終的に3段階のソルバーに還元され、ユニオン行列を用いたマルチスプリット統合により収束を加速しつつ、1段階法と同等の精度を維持する。大規模な行列の逆行列計算を小規模な行列の逆行列計算に置き換えることで、並列処理を活用した顕著な計算コスト削減が達成される。

ABSTRACT

We are motivated to solve differential algebraic equations with new multi-stage and multisplitting methods. The multi-stage strategy of the waveform relaxation (WR) methods are given with outer and inner iterations. While the outer iterations decouple the initial value problem of differential algebraic equations (DAEs) in the form of $A \frac{d y(t)}{dt} + B y(t) = f(t)$ to $M_A \frac{d y^{k+1}(t)}{dt} + M_1 y^{k+1}(t) = N_1 y^k(t) + N_A \frac{d y^{k}(t)} + f(t)$, where $A = M_A - N_A$, $B = M_1 - N_1$. The inner iterations decouple further $M_1 = M_2 - N_2$ and $M_2 = M_3 - N_3$ with additional iterative processes, such that we result to invert simpler matrices and accelerate the solver process. The multisplitting method use additional a decomposition of the outer iterative process with parallel algorithms, based on the partition of unity, such that we could improve the solver method. We discuss the different algorithms and present a first experiment based on a DAE system.

研究の動機と目的

• 従来の反復ソルバーを用いた大規模微分代数方程式（DAEs）の解法における計算非効率性を是正すること。
• 波形緩和（WR）法における行列逆行列計算の計算コストを、多段階分割戦略を導入することで低減すること。
• ユニオン分解に基づくマルチスプリット技術を用いて、並列処理の能力を向上させること。
• 異なる段階の分割およびマルチスプリットスキームにおける、計算効率と精度のトレードオフを調査すること。
• 提案手法が、半離散化されたPDAE系において実用的かつ高性能に動作することを実証すること。

提案手法

• 3段階波形緩和（MSWR）戦略を適用：外側反復で $ A = M_A - N_A $、$ B = M_1 - N_1 $ とシステムを分割し、その後2段階の内側反復 $ M_1 = M_2 - N_2 $、$ M_2 = M_3 - N_3 $ を実行することで、各段階での行列逆行列計算を簡略化する。
• 内側段階には反復ソルバーを適用：$ \frac{dy^{k+1}}{dt} + M_1 y^{k+1} = N_1 y^k + f(t) $ およびその後続の $ z^{\nu+1} $、$ \tilde{z}^{\mu+1} $ システムを用い、大規模行列の直接逆行列計算を回避する。
• ユニオン行列 $ E_p $ を用いたマルチスプリットを実装し、$ \sum_p E_p = I $ を満たす。これにより、$ L $ 個の部分系を重み付き更新 $ y^{k+1} = \sum_p E_p y^{p,k+1} $ で並列に解くことが可能になる。
• マルチスプリットにおける重複領域分割を導入し、$ o=1 $（最小重複）および $ o=m/2-1 $（最大重複）を設定することで、収束性および精度への影響を検討する。
• ジャコビ型およびガウス・ザイデル型のマルチスプリットバリエーションを併用し、収束特性および並列効率を比較する。
• 時間窓による統合を用いて半離散化PDAE系に手法を適用し、$ h=0.1 $、$ J=20 $、誤差ノルム $ \leq 10^{-3} $ または固定の $ K=20 $ 外側反復で停止条件を設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチステージ波形緩和は、1段階WR法と比較して計算コストを低減しつつ、精度を維持できるか？
• RQ2 2段階または3段階の分割（例：2レベルまたは3レベル分割）を導入することで、DAEソルバーの収束性および効率性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 重複領域を持つマルチスプリットは、DAEソルバーにおける並列処理および収束性をどの程度向上させるか？
• RQ4 ジャコビ型とガウス・ザイデル型の異なるマルチスプリットタイプが、精度および収束速度に与える影響は何か？
• RQ5 提案されたマルチステージおよびマルチスプリットスキームは、計算コストを著しく削減しながら、1段階法と同等の精度を達成できるか？

主な発見

• 3段階MSWR法は、1段階法と同等の精度を達成するとともに、階層的行列分割により計算コストを低減する。
• 2段階および3段階法は、図1に示すように、$ L_2 $ および $ L_\infty $ ノルムにおいて1段階法と同一の誤差レベルを達成する。
• ガウス・ザイデル型更新を用いたマルチスプリットアプローチは、ジャコビ型更新よりも高い精度を示し、特に重複構成下で顕著である。
• 最大重複（$ o = m/2 - 1 $）を採用した手法は、最小重複（$ o = 1 $）よりも収束性が向上するが、最適性能は両極端の間にある。
• マルチスプリット法は、1段階法およびマルチステージWR法と同等の精度を維持しながら、複数プロセッサにわたる完全な並列処理を可能にする。
• 計算コストの削減は顕著である：大規模行列の逆行列計算の必要性が、各段階でより小さな管理可能なブロックに分割されることで削減される。