[論文レビュー] Multidimensional continued fraction and rational approximation

Zongduo Dai, Kunpeng Wang+1 more|ArXiv.org|Jan 14, 2004

Numerical Methods and Algorithms参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、形式ローレンツ級数体上での多次元有理近似のためのm連分数枠組みを導入し、近似分数が目的の級数に収束し、最適であることを証明する。連分数と多変数形式ローレンツ級数との間に1対1対応を確立し、符号理論および暗号理論における多重系列合成問題への応用も行う。

ABSTRACT

The classical continued fraction is generalized for studying the rational approximation problem on multi-formal Laurent series in this paper, the construction is called m-continued fraction. It is proved that the approximants of an m-continued fraction converge to a multi-formal Laurent series, and are best rational approximations to it; conversely for any multi-formal Laurent series an algorithm called m-CF transform is introduced to obtain its m-continued fraction expansions; moreover, strict m-continued fractions, which are m-continued fractions imposed with some additional conditions, and multi-formal Laurent series are in 1-1 correspondence. It is shown that m-continued fractions can be used to study the multi-sequence synthesis problem.

研究の動機と目的

• 形式ローレンツ級数体上での有理近似に対して、古典的連分数を多次元に一般化すること。
• m連分数の近似分数が、与えられた多変数形式ローレンツ級数に対する最良有理近似であることを証明すること。
• 任意の多変数形式ローレンツ級数のm連分数展開を計算するためのアルゴリズム（m-CF変換）を開発すること。
• 厳密なm連分数と$F((z^{-1}))^m$の要素との間の1対1対応を確立すること。
• 理論を用いて通信および暗号理論における多重系列合成問題を解決すること。

提案手法

• $F((z^{-1}))^m$におけるインデックス付き順序と行列に基づく再帰関係を用いてm連分数を定義する。
• 与えられた多変数形式ローレンツ級数の連分数展開を生成するm-CF変換アルゴリズムを導入する。
• 逐次的に近似分数を構成するために、基本行列$R_{k-1}$と変換行列$E_{h_k}$、$A(\underline{a}_k)$を用いる。
• 収束性と最適性を保証するために、順序関数$Iv(\cdot)$とサポート条件$Supp^+(\cdot)$を用いる。
• 部分商の計算に行列逆行列と多項式部の抽出（$\lfloor \cdot \rfloor$）を活用する。
• 変換$\psi(\underline{r})$が、近似分数が最適である場合に限り、厳密なm連分数を生成することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数連分数を構成可能か。その近似分数が多変数形式ローレンツ級数に対する最良有理近似となるか。
• RQ2 厳密なm連分数と$F((z^{-1}))^m$の要素との間に1対1対応が存在するか。
• RQ3 m連分数枠組みを用いて符号理論における多重系列合成問題を解けるか。
• RQ4 行列変換$E_{h_k}$と$A(\underline{a}_k)$が、近似分数の収束性と最適性をどのように保証するか。
• RQ5 m-CF変換が厳密なm連分数を生成するための条件は何か。

主な発見

• m連分数の近似分数は、元の多変数形式ローレンツ級数$\underline{r}$に収束し、$\lim_{k\to\infty} \underline{p}_k / q_k = \underline{r}$が成り立つ。
• 近似分数が最良有理近似であることが証明されており、分母の次数が有界な範囲で誤差の順序を最小化する。
• 厳密なm連分数は、m-CF変換を介して$F((z^{-1}))^m$の要素と1対1に対応する。
• m-CF変換アルゴリズムは、任意の$\underline{r} \in F((z^{-1}))^m$のm連分数展開を正しく計算する。
• 任意のm連分数$C$に対して、$\varphi(C) = \underline{r}$が成り立つことから、逆写像が確認される。
• 本枠組みは、ベルレカンプ・マッセイ法やユークリッドの互除法に類似したが、より自然な構造を持つ多重系列合成問題の新しい解法を提供する。