[論文レビュー] Multidimensional Tauberian theorems for wavelet and non-wavelet transforms

Stevan Pilipović, Jasson Vindas|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 92被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間値の緩やかな分布に対するウェーブレットおよび非ウェーブレット変換に関する多次元のタウバーリアン定理を確立し、自然なタウバーリアン条件の下で、弱漸近的挙動が変換の境界挙動によって完全に決定されることを示している。スケーリング特性を特徴付け、最適なカーネルを同定することで、点および微局所的正則性解析が可能となり、特に有理数点におけるリーマン型分布の完全な弱漸近展開が得られる。

ABSTRACT

We study several Tauberian properties of regularizing transforms of tempered distributions with values in Banach spaces, that is, transforms of the form $M^{\mathbf{f}}_ϕ(x,y)=(\mathbf{f}\astϕ_{y})(x)$, where the kernel $ϕ$ is a test function and $ϕ_{y}(\cdot)=y^{-n}ϕ(\cdot/y)$. If the zeroth moment of $ϕ$ vanishes, it is a wavelet type transform; otherwise, we say it is a non-wavelet type transform. The first aim of this work is to show that the scaling (weak) asymptotic properties of distributions are \emph{completely} determined by boundary asymptotics of the regularizing transform plus natural Tauberian hypotheses. Our second goal is to characterize the spaces of Banach space-valued tempered distributions in terms of the transform $M^{\mathbf{f}}_ϕ(x,y)$. We investigate conditions which ensure that a distribution that a priori takes values in locally convex space actually takes values in a narrower Banach space. Special attention is paid to find the \emph{optimal} class of kernels $ϕ$ for which these Tauberian results hold. We give various applications of our Tauberian theory in the pointwise and (micro-)local regularity analysis of Banach space-valued distributions, and develop a number of techniques which are specially useful when applied to scalar-valued functions and distributions. Among such applications, we obtain the full weak-asymptotic series expansion of the family of Riemann-type distributions $R_β(x)=\sum_{n=1}^{\infty}e^{iπxn^{2}}/n^{2β}$, $β\in\mathbb{C}$, at every rational point. We also apply the results to regularity theory within generalized function algebras, to the stabilization of solutions for a class of Cauchy problems, and to Tauberian theorems for the Laplace transform.

研究の動機と目的

• バナッハ空間値の緩やかな分布のスケーリング（弱）漸近的性質を、正則化変換の境界挙動を用いて特徴付けること。
• 変換 $ M^{f f}_\varphi(x,y) = ({\bf f} \ast \varphi_y)(x) $ が、バナッハ空間値の緩やかな分布の空間を内因的に決定することを示すこと。
• ベクトル値設定においてタウバーリアン定理が成り立つ最適なカーネル $ \varphi $ のクラスを同定すること。
• 特にスカラーおよびベクトル値の文脈において、関数および分布の点および微局所的解析の一般的手法を構築すること。

提案手法

• 正則化変換 $ M^{{\bf f}}_{\varphi}(x,y) = ({{\bf f}} \ast \varphi_y)(x) $ の形を用い、ここで $ \varphi_y(\cdot) = y^{-n}\varphi(\cdot/y) $ であり、$ \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) $ である。
• 関数 $ \varphi $ の平均がゼロであるウェーブレット型変換と、非ゼロ平均の非ウェーブレット型変換を区別し、両者をタウバーリアン条件の下で分析する。
• アーベルおよびタウバーリアン定理を用いて、$ y \to 0^+ $ または $ y \to \infty $ のときの $ M^{{\bf f}}_{\varphi}(x,y) $ の漸近的挙動と、$ {\bf f} $ の $ \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n, E) $ における弱漸近的性質を関連付ける。
• フーリエ解析および分布的漸近的展開、特にスローリーに変化する関数と同次分布を含む弱漸近的展開を用いる。
• 弱漸近的挙動の必要十分条件を、変換の境界極限のフーリエ変換の分析を通じて導出する。
• 具体的な問題への応用：リーマン型分布、コーシー問題、一般化関数代数、ラプラス変換に関するタウバーリアン定理。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化変換 $ M^{{\bf f}}_{\varphi}(x,y) $ の境界挙動が、バナッハ空間値の緩やかな分布 $ {\bf f} $ の弱漸近的スケーリング特性を決定するための条件は何か？
• RQ2 ベクトル値設定においてタウバーリアン定理が成り立つ最適なカーネル $ \varphi $ のクラスは何か？
• RQ3 正則化変換は、バナッハ空間 $ E $ に値をとる緩やかな分布の空間 $ \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n, E) $ をどのように特徴付けるか？
• RQ4 リーマン型分布 $ R_\beta(x) = \sum_{n=1}^\infty e^{i\pi x n^2}/n^{2\beta} $ の有理数点における完全な弱漸近的展開は何か？
• RQ5 $ f(t,\xi) \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n_t \times \mathbb{R}^n_\xi) $ のとき、$ f(t_0, \xi) \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n_\xi) $ の存在を保証する条件は何か？

主な発見

• 本稿は、最適なカーネル条件の下で、$ {\bf f} \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n, E) $ の弱漸近的挙動を変換 $ M^{{\bf f}}_{\varphi}(x,y) $ の境界挙動を用いて完全にタウバーリアン的に特徴付けた。
• リーマン型分布 $ R_\beta(x) $ に対して、すべての有理数点における完全な弱漸近的展開を導出し、同次分布とスローリーに変化する関数を含む。
• 関数 $ f(t,\xi) \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n_t \times \mathbb{R}^n_\xi) $ のとき、$ f(t_0, \xi) \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n_\xi) $ の存在を保証する必要十分条件を、変換 $ M^{{\bf f}}_{\varphi} $ の挙動に基づいて提供した。
• 結果として、$ \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n, E) $ が変換 $ M^{{\bf f}}_{\varphi}(x,y) $ を用いて特徴付けられ、変換が分布空間を内因的に決定することを示した。
• 理論は、コーシー問題の解の安定化、一般化関数代数における正則性、ラプラス変換に関するタウバーリアン定理への応用が可能である。
• 最適なカーネルは、特定の非退化性およびモーメント条件を満たすものとして同定され、鋭いタウバーリアン結論を保証する。