[論文レビュー] Multifractal analysis of Bernoulli convolutions associated with Salem numbers

De‐Jun Feng|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Salem数に関連するベルヌーイ畳み込みに対して多分形形式を確立し、α ∈ [τ′(∞), τ′(0+)] における局所次元αのレベル集合のハウスドルフ次元が、L^qスペクトルτ*(α)のLegendre変換に等しいことを証明する。この結果は、漸近的に弱い分離条件を満たす自己同型測度へと拡張可能であり、非自明な多分形構造を示す絶対連続な自己相似測度の例も構成している。

ABSTRACT

We consider the multifractal structure of the Bernoulli convolution $ν_λ$, where $λ^{-1}$ is a Salem number in $(1,2)$. Let $τ(q)$ denote the $L^q$ spectrum of $ν_λ$. We show that if $α\in [τ'(+\infty), τ'(0+)]$, then the level set $$E(α):={x\in \R:\; \lim_{r o 0}\frac{\log ν_λ([x-r, x+r])}{\log r}=α}$$ is non-empty and $\dim_HE(α)=τ^*(α)$, where $τ^*$ denotes the Legendre transform of $τ$. This result extends to all self-conformal measures satisfying the asymptotically weak separation condition. We point out that the interval $[τ'(+\infty), τ'(0+)]$ is not a singleton when $λ^{-1}$ is the largest real root of the polynomial $x^{n}-x^{n-1}-... -x+1$, $n\geq 4$. An example is constructed to show that absolutely continuous self-similar measures may also have rich multifractal structures.

研究の動機と目的

• λ⁻¹が(1,2)におけるSalem数であるベルヌーイ畳み込みν_λに対して多分形形式を確立すること。
• レベル集合E(α)が非空となる局所次元の正確な範囲を特定し、そのハウスドルフ次元を計算すること。
• 漸近的に弱い分離条件を満たす自己同型測度に対して多分形形式の有効性を拡張すること。
• 非退化な局所次元の区間を有する絶対連続な自己相似測度の例を構成することにより、このような豊かさが特異性を示唆するとの仮定に反する。

提案手法

• Θ_μ(q;r) を互いに交わらない球の族 {B_r(x_i)} に対して ∑μ(B_r(x_i))^q の上界とし、τ_μ(q) を log Θ_μ(q;r) / log r の下限（r→0）として定義する。
• Legendre変換 τ*(α) = inf{αq - τ(q) : q ∈ ℝ} を用いて、L^qスペクトルとレベル集合E(α)のハウスドルフ次元を関連付ける。
• 自己相似的構造を用いてν_λを分析し、IFS S₁(x) = λx - 1, S₂(x) = λx + 1 と測度方程式 ν_λ = ½ν_λ∘S₁⁻¹ + ½ν_λ∘S₂⁻¹ を用いる。
• Salem数の性質とシリンダーセットの構造を用いて、α ∈ [τ′(∞), τ′(0+)] に対してレベル集合E(α)が非空であることを確立する。
• 特定のシリンダーワードIに対して #I / 2^k > λ^k が成り立つことを示し、漸近的に弱い分離条件を検証する。
• 重みが等しくない3分岐のIFSを構成し、非自明な局所次元範囲を有する絶対連続な自己相似測度を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 λ⁻¹がSalem数であるベルヌーイ畳み込みν_λに対して多分形形式は成立するか？
• RQ2 n ≥ 4 に対して x^n - x^{n-1} - ⋯ - x + 1 の最大実根λ⁻¹がSalem数であるとき、区間[τ′(∞), τ′(0+)]は非退化か？
• RQ3 絶対連続な自己相似測度は、非退化な局所次元の区間を有する多様な多分形構造を示せるか？
• RQ4 漸近的に弱い分離条件を満たす自己同型測度に対し、多分形形式は拡張可能か？
• RQ5 λ⁻¹がSalem数であるとき、τ′(∞) < 1 は常に成り立つのか？（Pisot数の場合と同様に）

主な発見

• λ⁻¹が(1,2)におけるSalem数であるとき、すべてのα ∈ [τ′(∞), τ′(0+)] に対してレベル集合E(α)は非空である。
• E(α)のハウスドルフ次元は、L^qスペクトルのLegendre変換τ*(α)に等しく、多分形形式が確認された。
• n ≥ 4 に対して x^n - x^{n-1} - ⋯ - x + 1 の最大実根λ⁻¹がSalem数であるとき、区間[τ′(∞), τ′(0+)]は非退化である。
• 非退化な局所次元の区間を有する絶対連続な自己相似測度の例が構成された。
• λ ∈ (0.3405, 0.3439) および u ∈ (1/3, 1/2) に対して、L²-ほとんど everywhere (λ,u) で μ_λ,u は絶対連続であり、非退化なαの区間で多分形形式が有効である。
• 証明は、横断性と log f(q) の厳密な凸性に依拠し、q > 1.5 かつ λ < 0.3438 のとき τ(q,λ,u) = g(q,λ) が成り立つことを保証する。