[論文レビュー] Multifractal analysis of some multiple ergodic averages in linear Cookie-Cutter dynamical systems

Aihua Fan, Lingmin Liao+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可変リャプノフ指数を組み込んだ非線形転送作用素フレームワークを導入することで、線形クッキー・カッター力学系における複数のエルゴディック平均の完全な多重フラクタルスぺクトルを確立する。 Hausdorff次元 $ L_{\rho}(\beta) $ は、圧力関数方程式の解 $ r(\beta) $ で与えられ、$ \varphi $ とシステムの勾配に関する弱い条件下で、すべての $ \beta \in (A,B) $ に対して次元が完全に特徴づけられ、連続性および厳密な凸性の明示的性質を示す。

ABSTRACT

In this paper, we study the multiple ergodic averages of a locally constant real-valued function in linear Cookie-Cutter dynamical systems. The multifractal spectrum of these multiple ergodic averages is completely determined.

研究の動機と目的

• 非定数リャプノフ指数を有する線形クッキー・カッター系への複数エルゴディック平均の多重フラクタル解析を拡張すること。
• 局所定数関数の複数エルゴディック平均によって定義されるレベル集合のハウスドルフ次元を特定すること。
• フルシフトおよび2枝マップに関する先行結果を $ m \geq 2 $ 開区間および任意の $ \ell \geq 2 $ に一般化すること。
• ポテンシャル $ \varphi $ と変動するリャプノフ指数 $ \lambda_i $ を両方とも組み込む転送作用素フレームワークを構築すること。

提案手法

• 重みに $ \varphi(i,j) $ と $ \lambda_j $ を含む非線形転送作用素 $ \mathcal{N}_{(s,r)} $ を定義し、力学系とポテンシャルを符号化する。
• $ \mathcal{N}_{(s,r)} $ に対する正の固定点 $ \underline{t}(s,r) $ の存在および一意性を証明し、圧力関数 $ P(s,r) $ の定義を可能にする。
• 圧力関数 $ P(s,r) = (q-1)\log \sum_{j=0}^{m-1} t_j(s,r) e^{-r\lambda_j} $ を導入し、非退化条件のもとで実解析的かつ厳密に凸であることを示す。
• 圧力関数 $ P(s,r) $ のLegendre変換を用いて、レベル集合次元と方程式 $ \partial P / \partial s = \alpha $ の解 $ r(\alpha) $ を関連付ける。
• 測度 $ \nu_{s,r} $ が極限測度 $ \nu_\infty $ に連続的かつ収束することを確立し、その次元が $ \lim_{\alpha \to A} r(\alpha) $ に等しいことを示す。
• 変分原理および局所次元推定を用いて、レベル集合 $ L_\varphi(\alpha) $ のハウスドルフ次元の上界および下界を評価し、$ r(\alpha) $ と等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定数リャプノフ指数を有する線形クッキー・カッター系における複数エルゴディック平均によって定義されるレベル集合 $ L_\varphi(\alpha) $ のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 このような平均の多重フラクタルスぺクトルは、ポテンシャル $ \varphi $ およびシステムの勾配 $ \lambda_i $ にどのように依存するか？
• RQ3 フルシフトおよび2枝マップに用いられた手法を $ m \geq 2 $ 開区間系および任意の $ \ell \geq 2 $ に一般化できるか？
• RQ4 圧力関数 $ P(s,r) $ は、そのLegendre変換によってレベル集合の次元を完全に特徴づけられるか？
• RQ5 スペクトルの端点 $ (A,B) $ 付近における次元関数 $ r(\alpha) $ の振る舞いは何か？ また、極限測度の次元とどのように関係するか？

主な発見

• レベル集合 $ L_\varphi(\alpha) $ のハウスドルフ次元は、$ P(s,r) $ が圧力関数であるとき、方程式系 $ \partial P / \partial s = \alpha $, $ \partial P / \partial r = 0 $ の解 $ r(\alpha) $ に等しい。
• ポテンシャル $ \varphi $ が非定数であり、かつすべての $ \lambda_i $ が等しくない限り、圧力関数 $ P(s,r) $ は実解析的かつ厳密に凸である。
• 下限 $ \alpha = A $ におけるレベル集合の次元は $ \dim_H L_\varphi(A) = \lim_{\alpha \to A^+} r(\alpha) = \dim \nu_\infty $ に等しく、$ \nu_\infty $ はギブズ型測度の極限測度である。
• $ \alpha \in (A, A') $ のとき、パラメータ $ s(\alpha) < 0 $ であるため、次元の上界評価における補正項が厳密に負となり、上界の証明が可能になる。
• 次元関数 $ r(\alpha) $ は $ (A,B) $ 上で連続であり、スペクトル $ \dim_H L_\varphi(\alpha) $ は $ (A,B) $ 上で連続的かつ厳密に凹関数である。
• 本手法により、すべての $ \alpha \in (A,B) $ に対して多重フラクタルスぺクトルが完全に特徴づけられ、Liao–Ramsの結果を多枝系に拡張するという未解決問題が解決された。