[論文レビュー] MultiGrid Preconditioners for Mixed Finite Element Methods of Vector Laplacian

Long Chen, Yongke Wu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、点乗ガウス＝ザイデルスムージングを用いた可変Vサイクル multigrid 法を用いて、ベクトルラプラシアンおよびマクスウェル方程式の混合有限要素離散化に対する、新しいブロック対角およびブロック下三角プレコンディショナを提案する。この手法は、multigrid を用いてシュール補行列を近似することで、メッシュ依存性のない収束性を達成し、幾何的スムージング手法に代わるブラックボックス的で、部分的正則性下でも頑健な性能を示す。

ABSTRACT

Due to the indefiniteness and poor spectral properties, the discretized linear algebraic system of the vector Laplacian by mixed finite element methods is hard to solve. A block diagonal preconditioner has been developed and shown to be an effective preconditioner by Arnold, Falk, and Winther [Acta Numerica, 15:1--155, 2006]. The purpose of this paper is to propose alternative and effective block diagonal and block triangular preconditioners for solving this saddle point system. A variable V-cycle multigrid method with the standard point-wise Gauss-Seidel smoother is proved to be a good preconditioner for a discrete vector Laplacian operator. This multigrid solver will be further used to build preconditioners for the saddle point systems of the vector Laplacian and the Maxwell equations with divergent free constraint. The major benefit of our approach is that the point-wise Gauss-Seidel smoother is more algebraic and can be easily implemented as a black-box smoother.

研究の動機と目的

• H₀(curl) 上のベクトルラプラシアンの混合有限要素離散化から生じる鞍点系に対する、効果的かつ実装可能なプレコンディショナの開発を目的とする。
• 複雑な局所解法と幾何的情報を必要とする既存の幾何的スムージング手法の限界を克服し、より代数的なスムージング手法を導入することを目的とする。
• 標準的な点乗ガウス＝ザイデル緩和法を用いて、システム行列のシュール補行列に対する最適収束率を保証する multigrid フレームワークを確立することを目的とする。
• 発散自由制約を伴うマクスウェル方程式へ、提案されたプレコンディショナを拡張し、正則性が低下しても頑健性を維持することを目的とする。
• 数値実験を通じて、提案されたプレコンディショナが、反復回数にメッシュ依存性がなく、CPU 時間的にも効率的であることを示すこと

提案手法

• シュール補行列 $A = B^T M_v^{-1} B + C^T M_f C$ を表す離散的ベクトルラプラシアンに対して、可変Vサイクル multigrid 法を適用する。
• ブラックボックススムージングとして点乗ガウス＝ザイデルスムージングを用い、特化した幾何的またはパッチベースのスムージング手法の必要性を回避する。
• 実用性とスパarsity を確保するため、質量行列 $M_v^{-1}$ の逆行列をスパースかつラumpingされた質量行列 $\tilde{M}_v^{-1}$ で近似する。
• multigrid 近似 $\tilde{A}^{-1}$ を用いて、ブロック対角およびブロック下三角プレコンディショナを構築し、$(2,2)$ ブロックは $\tilde{M}_v^{-1}$ またはスカラーラプラシアンのVサイクルで近似する。
• ブラムブル・パスチャック・シューアフレームワークを用いて理論的収束性を裏付け、正則性および近似の仮定に依存する。スムージング性は、対称正定値性およびガウス＝ザイデル理論により保証される。
• 数値実験では、2次元および3次元領域、特に完全正則性を満たさない特異領域を含む、iFEM パッケージを用いて性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な点乗ガウス＝ザイデルスムージングは、ベクトルラプラシアン鞍点系のシュール補行列に対する multigrid 法において、ブラックボックススムージングとして効果的に使用可能か？
• RQ2 完全な楕円的正則性仮定が満たされない状況下でも、提案された multigrid プレコンディショナはメッシュ依存性のない収束性を維持するか？
• RQ3 発散自由制約を伴うマクスウェル方程式において、ブロック対角およびブロック下三角プレコンディショナは、反復回数および計算コストの観点でどのように比較されるか？
• RQ4 シュール補行列の multigrid スolver は、幾何的情報や局所パッチ解法を必要とせず、頑健な代数的プレコンディショナとして使用可能か？
• RQ5 完全な線形多項式空間が離散空間に含まれない場合（例えば、最低次のエッジ要素を用いる場合）、有限要素近似の性質が収束挙動に与える影響は何か？

主な発見

• 特に3次元および非凸領域では、ブロック下三角プレコンディショナが反復回数の点でブロック対角プレコンディショナを上回る性能を示す。
• 正則性が低下しても、対角プレコンディショナの反復回数はゆっくりと増加する傾向にあり、楕円的正則性仮定に敏感であることが示唆される。
• L字型や亀裂のある領域でも、完全正則性が成立しない状況下においても、下三角プレコンディショナは頑健性を維持する。これは、内部正則性と追加のスムージングが境界特異性を補うことを示している。
• マクスウェル方程式において、両プレコンディショナとも収束を達成し、反復ステップ数はゆっくりと増加する。下三角プレコンディショナは $(2,2)$ ブロックの解法が高価であるが、CPU 時間は同程度に抑えられる。
• 1つのVサイクルに $m_J=2$（2次元）または $m_J=3$（3次元）を用いることで、効果的なプレコンディショニングが達成され、multigrid 近似の効率性が示された。
• 有限要素空間が完全な線形多項式を含まない場合でも、本手法は有効であることが示され、理論的仮定を越えた頑健性が確認された。