[論文レビュー] Multiple ergodic averages along functions from a Hardy field: convergence, recurrence and combinatorial applications

Vitaly Bergelson, Joel Moreira+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ハーディー場からの関数に 沿った複数のエルゴディック平均の収束性と再帰性を確立し、このような平均が $L^2$ で収束し、正の上密度をもつ集合において新たな組み合わせ的構造が得られることを証明する。Frantzikinakis の予想を確認し、多項式と非多項式関数（例：$t^{3/2}$ や $e^{ extbackslash sqrt extbackslash extbraceleft t extbraceright}$）の混合を含む Szemerédi 型定理を拡張し、非多項式性の条件下で帰還時刻の集合が厚いことを示す。

ABSTRACT

We obtain new results pertaining to convergence and recurrence of multiple ergodic averages along functions from a Hardy field. Among other things, we confirm some of the conjectures posed by Frantzikinakis in [Fra10; Fra16] and obtain combinatorial applications which contain, as rather special cases, several previously known (polynomial and non-polynomial) extensions of Szemeredi's theorem on arithmetic progressions [BL96; BLL08; FW09; Fra10; BMR17]. One of the novel features of our results, which is not present in previous work, is that they allow for a mixture of polynomials and non-polynomial functions. As an illustration, assume $f_i(t)=a_{i,1}t^{c_{i,1}}+\cdots+a_{i,d}t^{c_{i,d}}$ for $c_{i,j}>0$ and $a_{i,j}\in\mathbb{R}$. Then $\bullet$ for any measure preserving system $(X,\mathcal{B},μ,T)$ and $h_1,\dots,h_k\in L^\infty(X)$, the limit $$\lim_{N o\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N T^{[f_1(n)]}h_1\cdots T^{[f_k(n)]}h_k$$ exists in $L^2$; $\bullet$ for any $E\subset \mathbb{N}$ with $\overline{\mathrm{d}}(E)>0$ there are $a,n\in\mathbb{N}$ such that $\{a,\, a+[f_1(n)],\ldots,a+[f_k(n)]\}\subset E$. We also show that if $f_1,\dots,f_k$ belong to a Hardy field, have polynomial growth, and are such that no linear combination of them is a polynomial, then for any measure preserving system $(X,{\mathcal B},μ,T)$ and any $A\in{\mathcal B}$, $$\limsup_{N o\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nμ\Big(A\cap T^{-[ f_1(n) ]}A\cap\ldots\cap T^{-[f_k(n)]}A\Big)\,\geq\,μ(A)^{k+1}.$$

研究の動機と目的

• ハーディー場からの関数に沿った複数のエルゴディック平均の収束を確立し、多項式および非多項式の場合を一般化する。
• Frantzikinakis が提起した非多項式列に沿った複数のエルゴディック平均と再帰性に関する未解決予想を解決する。
• 多項式および非多項式関数の混合によって定義される構造に対する Szemerédi の定理の組み合わせ的拡張を証明する。
• 帰還集合が厚いかシンデリックである条件を特定し、成長度と微分可能性に基づく二分岐を明らかにする。

提案手法

• 特徴的因子とニルシステムを用いて、エルゴディック平均をニル多様体上のニル回転に還元する。
• 多項式的成長を示すハーディー場に属する関数 $f_i$ に対して、一様分布論を適用する。
• 系の構造的分解により、連結で単連結なノルム的可換群への還元を行う。
• 重み関数 $W$ と適合性条件（性質 P または WP）を用いて、一様に分布しない列を扱う。
• 極限平均における誤差制御と近似技術により、床関数を除去する。
• Ric20 の結果を活用し、成長が遅く非多項的挙動を示す関数に沿った複数のエルゴディック平均に関する結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーディー場に属する関数に沿った複数のエルゴディック平均が $L^2$ で収束する条件は何か？
• RQ2 帰還時刻集合 $\{n \in \mathbb{N} : E \cap (E - \lfloor f(n) \rfloor) \neq \emptyset\}$ が厚くなるのはいつか？ これは $f$ の成長および微分可能性にどのように依存するか？
• RQ3 多項式および非多項式関数の混合を含む収束性および再帰性の結果を拡張できるか？
• RQ4 複数再帰における下界 $\mu(A)^{k+1}$ が成り立つために、$f_1, \dots, f_k$ の線形結合が多項式でないという条件は必要か？
• RQ5 関数と重みの間の適合性条件を性質 (P) から性質 (WP) に弱めることができるか？
• RQ6 関数が導関数を含む一般化された非多項式性条件を満たすとき、帰還集合の共通部分 $R_{f_1} \cap \cdots \cap R_{f_k}$ は依然として厚いか？

主な発見

• 任意の測度保存系および $h_1, \dots, h_k \in L^\infty(X)$ に対して、$f_i(t) = a_{i,1}t^{c_{i,1}} + \cdots + a_{i,d}t^{c_{i,d}}$ で $c_{i,j} > 0$ かつ $a_{i,j} \in \mathbb{R}$ であるとき、複数のエルゴディック平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N T^{[f_1(n)]}h_1 \cdots T^{[f_k(n)]}h_k$ は $L^2$ で収束する。
• 関数 $f_1, \dots, f_k$ がハーディー場に属し、多項式的成長を示し、かつどの線形結合も多項式でないならば、$\limsup_{N \to \infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \mu(A \cap T^{-[f_1(n)]}A \cap \cdots \cap T^{-[f_k(n)]}A) \geq \mu(A)^{k+1}$ が成り立つ。
• 任意の集合 $E \subset \mathbb{N}$ で $\overline{\mathrm{d}}(E) > 0$ であるとき、$a, n \in \mathbb{N}$ が存在して $\{a, a + [f_1(n)], \dots, a + [f_k(n)]\} \subset E$ が成り立つ。
• 関数 $f_i(t) \prec t^\ell$ かつ $f_i(t) \succ t^{\ell-1}$ であるような $\ell \in \mathbb{N}$ が存在するとき、帰還集合 $R_f = \{n : E \cap (E - \lfloor f(n) \rfloor) \neq \emptyset\}$ は厚い。
• 関数 $f_i$ が導関数と成長度に関する非多項式性条件を満たすならば、$R_{f_1} \cap \cdots \cap R_{f_k}$ は厚い。
• すべての $c_{i,j}$ が非整数であるとき、複数のエルゴディック平均の極限は積 $\int h_1 \, d\mu \cdots \int h_k \, d\mu$ に等しくなる。これはウィーナー＝ウィンナータイプの等分布性を示唆する。