[論文レビュー] Multiple positive solutions for a class of p-Laplacian Neumann problems without growth conditions

Alberto Boscaggin, Francesca Colasuonno+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、p-ラプラシアンNeumann問題に対して、球または中空領域上での非定数径方向正の解が複数存在することを確立している。非線形項 $ f $ がSobolev埋め込みに関して超臨界であっても同様である。シューティング法を用いて、$ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $ ならば、定数解 $ u \equiv 1 $ の周りを正確に $ k $ 回振動する解が少なくとも $ k $ 個存在することを示し、$ p=2 $ の場合の長年の予想を裏付けるとともに、一般の $ p \in (1,\infty) $ にまで拡張している。

ABSTRACT

For $10 ext{ in }Ω,\quad\partial_νu=0 ext{ on }\partialΩ, $$ where $Ω\subset\mathbb R^N$ is either a ball or an annulus. The nonlinearity $f$ is possibly supercritical in the sense of Sobolev embeddings; in particular our assumptions allow to include the prototype nonlinearity $f(s)=-s^{p-1}+s^{q-1}$ for every $q>p$. We use the shooting method to get existence and multiplicity of non-constant radial solutions. With the same technique, we also detect the oscillatory behavior of the solutions around the constant solution $u\equiv1$. In particular, we prove a conjecture proposed in [D. Bonheure, B. Noris, T. Weth, {\it Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Lináire} vol. 29, pp. 573-588 (2012)], that is to say, if $p=2$ and $f'(1)>λ_{k+1}^{rad}$, there exists a radial solution of the problem having exactly $k$ intersections with $u\equiv1$ for a large class of nonlinearities.

研究の動機と目的

• Sobolev的意味で超臨界である可能性のある非線形性を有するp-ラプラシアンNeumann問題に対して、複数の非定数径方向解の存在を扱う。
• 定数解 $ u \equiv 1 $ の周りにおける所定の振動的挙動（正確に $ k $ 回の交差）を示す解の存在を証明する。
• Bonheureら（2012年）の $ p=2 $ における予想を、一般の $ p \in (1,\infty) $ にまで拡張する。特に $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $ の場合を対象とする。
• $ p \neq 2 $ の場合の分岐構造と解の多重性を分析する。特に $ p < 2 $ および $ p > 2 $ の場合に、解の分岐が異なる挙動を示す点を重点的に検討する。
• 初期値 $ u(0) < 1 $ を有する解の検出に厳密な枠組みを提供し、$ p < 2 $ の場合に $ u(0) > 1 $ を満たす解の存在に関する未解決問題を特定する。

提案手法

• p-ラプラシアンNeumann問題の径方向常微分方程式（ODE）形式にシューティング法を適用し、初期値 $ u(0) $ をパラメータとして扱う。
• 領域の径対称性（球または中空領域）を用いて、偏微分方程式（PDE）を径方向変数 $ r $ に関する2階ODEに簡略化し、Neumann境界条件を適用する。
• 解の振動挙動を分析するため、$ u(r) - 1 $ が区間 $ (R_1, R_2) $ 内で符号を何回変えるか（すなわち、定数解 $ u \equiv 1 $ と何回交差するか）を追跡する。
• パラメータ $ p $ における分岐技術を用い、$ p=2 $ での既知の解を出発点として、$ p \neq 2 $ の解分岐を構築する。
• 数値連続法（例：AUTO07p）を用いて解分岐をトレースし、特に $ p < 2 $ の場合に分岐が2本に分かれる現象（折りたたみ構造）を検出する。
• 位相的および変分的議論に依拠し、Neumann条件を満たすp-ラプラシアンの径方向固有値 $ \lambda_k^{\text{rad}} $ を用いて、存在結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-ラプラシアンNeumann問題に対して、複数の非定数径方向解が存在するための $ f $ の最小成長条件は何か？
• RQ2 $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $ のとき、$ u \equiv 1 $ と正確に $ k $ 回交差する径方向解はいくつ存在するか？ これは一般の $ p \in (1,\infty) $ に対しても成り立つか？
• RQ3 $ p < 2 $ の場合、解構造はどのように変化するか？ 特に、解分岐が2本に分かれ、同じ振動パターンを持つ複数の解が出現する現象はどのようなものか？
• RQ4 $ p < 2 $ の場合に $ u(0) > 1 $ を満たす解は見つかることができるか？ どのような条件下でそれらが存在すると考えられるか？
• RQ5 領域のサイズではなく $ p $ を変化させた場合、分岐構造は維持されるか？ また、$ p \in (p_{\text{min}}, 2) $ の範囲で $ 2k $ 個の解が得られるか？

主な発見

• $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $ ならば、p-ラプラシアンNeumann問題に対して少なくとも $ k $ 個の非定数径方向解が存在し、それぞれが $ (R_1, R_2) $ 内で $ u(r) - 1 $ に正確に $ k $ 個の零点を持つ。2012年の予想を裏付ける結果である。
• $ C_1 = +\infty $ の場合、無限個の非定数径方向解が存在する。これは、超臨界非線形性であっても無限多重性が得られることを示している。
• $ p < 2 $ の場合、各解分岐は2本に分裂し、同じ振動的挙動を持つ解が最大で $ 2k $ 個存在する。ただし、現在は $ u(0) < 1 $ を満たす解のみが検出可能である。
• $ p > 2 $ の場合、数値的証拠から、同じ点 $ q = p $ から無限個の解分岐が生じる可能性がある。これは非常に退化した分岐構造を示唆している。
• $ p=2 $ から出発する $ p $ における数値連続法により、$ p < 2 $ の解分岐が構築可能であり、標準的な定数解からの分岐では到達できない解の検出が可能になる。
• 広範な数値的探索にもかかわらず、$ p < 2 $ の場合に $ u(0) > 1 $ を満たす解の存在は未解決の問題のままであるが、特定の条件下では存在すると予想されている。