[論文レビュー] Multiple solutions to a Caffarelli-Kohn-Nirenberg type equation with asymptotically linear term

Benjin Xuan|ArXiv.org|Apr 2, 2004

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、無限大における漸近的線形非線形性を有する特異な Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型 p-ラプラシアン方程式に対して、複数の解の存在を確立する。Ambrosetti-Rabinowitz 条件の不成立を回避するために、Cerami 条件の同値な形を用いることで、重み付きソボレフ空間の枠組みにおいて、対称的マウンテンパス補題を用いて無限に多くの臨界点の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of multiple solutions to a Caffarelli-Kohn-Nirenberg type equation with asymptotically linear term at infinity. In this case, the well-known Ambrosetti-Rabinowtz type condition doesn't hold, hence it is difficult to verify the classical (PS)$_c$ condition. To overcome this difficulty, we use an equivalent version of Cerami's condition, which allows the more general existence result.

研究の動機と目的

• 無限大における漸近的線形非線形性を有する Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型方程式に対して、複数の解の存在を確立すること。
• 非線形性が漸近的線形である場合に、古典的 Ambrosetti-Rabinowitz 条件が成立しないことによる、標準的 Palais-Smale 列の有界性の欠落を克服すること。
• 従来の非特異の場合 (a=0) の結果を、c>0 である特異の場合 (0≤a<(n−p)/p) に拡張すること。
• 重み付きソボレフ空間における方程式に付随するエネルギー汎関数に対して、Cerami 条件 (C) を検証すること。
• 対称性および成長に関する仮定の下で、対称的マウンテンパス補題を適用し、無限に多くの幾何学的に異なる解を得ること。

提案手法

• 標準的 Palais-Smale 条件に代えて、Cerami のコンパクトネス条件 (C) の同値な定式化を用いることで、Ambrosetti-Rabinowitz 条件が不成立となる場合の解析を可能にする。
• 重み付きソボレフ空間 X において、|x|^{-ap} および |x|^{-(a+1)p+c} の重みを含むノルムを用いて定義された空間上で、対称的マウンテンパス補題を適用する。
• 背理法を用いて Palais-Smale 列の有界性を確立し、無限大への発散がエネルギーおよびノルムの推移的推定において矛盾を引き起こすことを示す。
• Krasnoselskii の genus 理論を用いて臨界値を定義し、複数の臨界点の存在を証明する。
• 重み付き Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式を用いて、重み付きソボレフ空間から Lebesgue 空間への埋め込みを制御する。
• マウンテンパスの幾何的性質を適用：有限次元部分空間におけるエネルギーは原点付近で正であり、大きな球面上で負である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性が無限大で漸近的線形である場合に、特異な Caffarelli-Kohn-Nirenberg 方程式に対して複数の解を確立できるか？
• RQ2 p-ラプラシアン方程式に特異な重みが存在する文脈において、Ambrosetti-Rabinowitz 条件の不成立をどのように克服できるか？
• RQ3 標準的 (PS) 条件が不成立となる場合に、Palais-Smale 列の収束を保証するコンパクトネス条件は何か？
• RQ4 漸近的線形成長の下で、対称的マウンテンパス補題を用いて無限に多くの解を得ることができるか？
• RQ5 重み付きソボレフ埋め込みおよび Krasnoselskii の genus は、解の多重性の証明において果たす役割は何か？

主な発見

• 方程式に付随するエネルギー汎関数は、すべての d≥0 に対して Cerami の条件 (C) を満たし、有界列のコンパクトネスを保証する。
• 与えられた対称性および成長に関する仮定の下で、無限に多くの幾何学的に異なる臨界点の存在が確立される。
• 任意の k≥1 に対して、エネルギー汎関数が大きな球の外部で非正となる k 次元部分空間が存在し、マウンテンパスの幾何的性質を満たす。
• この証明は、0≤a<(n−p)/p かつ c>0 である特異の場合に成立し、従来の非特異の場合 (a=0) に限られていた結果を拡張する。
• f(u) の無限大における漸近的線形性により、Ambrosetti-Rabinowitz 条件の使用が不可能であるが、これは Cerami 条件によって克服される。
• 有界性証明における背理法は、f(t) の成長および弱収束先の非ゼロ部分集合上での重み付き L^p ノルムの発散に依存する。