[論文レビュー] Multiplication and composition operators between two Orlicz spaces

Yousef Estaremi|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、二つの異なるオルリッチ空間 $ L^{\tilde{\Phi}_1} $ と $ L^{\tilde{\Phi}_2} $ 間の乗算作用素および合成作用素の有界性、コンパクト性、および本質的ノルムの推定値を調査する。これらの性質の必要十分条件を、誘導関数 $ u $ および変換 $ \varphi $ の測度論的性質を用いて確立し、特に重要な結果として、$ \sigma $-有限かつ非原子的測度および $ \Phi_1 $ の $ \Delta_2 $-条件のもとで、$ M_u $ の本質的ノルムが $ \beta_2 $、すなわち $ u $ の本質的ess sup-ノルムに等しいことが示されている。

ABSTRACT

In this paper we consider composition operator $C_φ generated by nonsingular measurable transformation $T$ and multiplication operator $M_u$ generated by measurable function $u$ between two different Orlicz spaces, then we investigate boundedness, compactness and essential norm of multiplication and composition operators in term of properties of the mapping $φ$, the function $u$ and the measure space $(X, Σ, μ)$.

研究の動機と目的

• 異なるオルリッチ空間 $ L^{\tilde{\Phi}_1} $ と $ L^{\tilde{\Phi}_2} $ 間の乗算作用素および合成作用素の体系的特徴付けの欠如に対処する。
• 関数 $ u $、変換 $ \varphi $、および測度空間 $ (\Omega, \Sigma, \mu) $ を用いて、これらの作用素の有界性およびコンパクト性の必要十分条件を確立する。
• 特に、$ u $ の本質的ess sup-ノルムおよび $ \varphi $ の挙動と関連付けて、これらの作用素の本質的ノルムの推定値を提供する。
• $ L^p $-空間およびヒルベルト空間における既知の結果を、より一般的なオルリッチ空間の設定に拡張する。
• $ \Delta_2 $-条件および原子的／非原子的構造がコンパクト性および本質的ノルムを決定づける役割を明確にする。

提案手法

• Young関数 $ \Phi_1 $ および $ \Phi_2 $ を用いて、オルリッチ空間 $ L^\Phi $ 上での合成作用素 $ C_\varphi(f) = f \circ \varphi $ および乗算作用素 $ M_u(f) = u f $ を定義する。
• 収束性および有界性を特徴付けるために、オルリッチノルム $ N_\Phi(f) = \inf\{ k > 0 : \int_\Omega \Phi(|f|/k) d\mu \leq 1 \} $ を用いる。
• Radon-Nikodým定理を適用して、$ \mu \circ \varphi^{-1} $ の推進測度を密度 $ h $ を用いて表現し、$ \varphi $ の非特異性を保証する。
• 特に、$ |u| > \beta_2 - \varepsilon $ となる集合での $ u $ の切り詰めを用いて、有限ランク作用素による近似を通じてコンパクト性を特徴付ける。
• 測度が消失する集合に台を持つ列 $ f_n $ の弱収束を用いて、本質的ノルム $ \|T\|_e $ を推定し、$ \|T f_n\| $ と $ \|M_u f_n\| $ を比較する。
• $ \Phi_1 $ における $ \Delta_2 $-条件を用いて、$ \|f_n\|_{\Phi_1} \to 0 $ ならば $ \|T f_n\|_{\Phi_2} \to 0 $ が成り立つことを保証し、コンパクト性の基準を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合成作用素 $ C_\varphi $ が $ L^{\Phi_1}(\Omega) $ から $ L^{\Phi_2}(\Omega) $ に有界であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 乗算作用素 $ M_u $ が $ L^{\Phi_1}(\Omega) $ から $ L^{\Phi_2}(\Omega) $ に有界であるための条件は何か？
• RQ3 測度論的構造 $ \varphi $、$ u $、および $ \mu $ を用いて、$ C_\varphi $ および $ M_u $ のコンパクト性をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 オルリッチ空間の文脈において、$ M_u $ の本質的ノルムは何か？また、それは $ u $ の本質的ess sup-ノルムとどのように関係するか？
• RQ5 $ \Phi_1 $ における $ \Delta_2 $-条件および $ \mu(\Omega) $ の有限性が、これらの作用素の本質的ノルムおよびコンパクト性に与える影響は何か？

主な発見

• 合成作用素 $ C\_\varphi $ が $ L^{\Phi_1}(\Omega) $ から $ L^{\Phi_2}(\Omega) $ に有界であるための必要十分条件は、推進測度 $ \mu \circ \varphi^{-1} $ が $ \Phi_1 $ および $ \Phi_2 $ に関してある成長条件を満たすことである。特に、密度 $ h $ を含む。
• 乗算作用素 $ M_u $ が $ L^{\Phi_1}(\Omega) $ から $ L^{\Phi_2}(\Omega) $ に有界であるための必要十分条件は、$ u \in L^{\Psi}(\Omega) $ であることである。ここで $ \Psi $ は $ \Phi_1 $ の補完的Young関数であり、$ \Delta_2 $-条件が成り立つ。
• $ \sigma $-有限かつ非原子的測度空間および $ \Phi_1 \in \Delta_2 $ の下で、$ M_u $ の本質的ノルムは $ \beta_2 $、すなわち $ u $ の本質的ess sup-ノルムに等しくなる。すなわち、$ \|M_u\|_e = \beta_2 $ である。
• 同様に、$ C_\varphi $ の本質的ノルムは $ \beta_1 $、すなわちRadon-Nikodým導関数 $ h $ の本質的ess sup-ノルムに等しくなる。したがって、$ \mu(\Omega) < \infty $ かつ $ \Phi_1 \in \Delta_2 $ の下で、$ \|C_\varphi\|_e = \beta_1 $ が成り立つ。
• 作用素 $ M_u $ が $ L^{\Phi_1}(\Omega) $ から $ L^{\Phi_2}(\Omega) $ にコンパクトであるための必要十分条件は、$ \beta_2 = 0 $、すなわち $ u = 0 $ $ \mu $-ほとんど everywhere であることである。この条件のもとで成り立つ。
• 例題 4.5 は、$ u(n) = 1/n^2 $ のとき $ M_u $ が $ L^{\Phi_1}(\mathbb{N}) $ から $ L^{\Phi_2}(\mathbb{N}) $ にコンパクトであるが、$ u(n) = n^2/(n+1) $ のときはそうではないことを示しており、離散的状況における理論の妥当性を確認している。