[論文レビュー] Multiplicity of positive solutions for a fractional Laplacian equations involving critical nonlinearity

Jinguo Zhang, Xiaochun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、臨界非線形性および符号変化する重み関数を有する分数階ラプラシアン方程式に対して、変分法およびネハリ多様体解析を用いて、少なくとも2つの正の解の存在を確立する。十分に小さい λ > 0 に対して、問題は2つの異なる正の解を有する。1つはノルムにおいて消える解であり、もう1つはリスケーリングの下で ℝ^N における制限問題の基底状態解へ収束する集中する解である。

ABSTRACT

In this paper we deal with the multiplicity of positive solutions to the fractional Laplacian equation \begin{equation*} (-Δ)^{\fracα{2}} u=λf(x)|u|^{q-2}u+|u|^{2^{*}_α-2}u, \quad ext{in}\,\,Ω, u=0, ext{on}\,\,\partialΩ, \end{equation*} where $Ω\subset \mathbb{R}^{N}(N\geq 2)$ is a bounded domain with smooth boundary, $00$ such that the problem has at least two positive solutions for each $λ\in (0\,,\,λ_{*})$. In addition, the concentration behavior of the solutions are investigated.

研究の動機と目的

• 分数階ラプラシアン方程式における臨界成長および凹凸非線形性を有する正の解の多重性を調査すること。
• 従来の標準ラプラシアンに関する結果を、符号変化する重み関数を有する分数階設定に拡張すること。
• パラメータ λ → 0 の下での解の集中挙動を分析すること。
• 変分法およびネハリ多様体技術を用いて、十分に小さい λ > 0 に対して少なくとも2つの正の解の存在を確立すること。

提案手法

• ラプラシアンの固有値分解を用いて、分数階ソボレフ空間 $ H^{rac{\beta}{2}}_0(\bar{\theta}) $ において問題を定式化する。
• カファレッリ＝シルベスターの拡張を適用して、非局所的分数階ラプラシアンを上半空間 $ \mathcal{C}_\Omega $ における局所的問題に変換する。
• エネルギー汎関数の臨界点を特定するために、変分法およびネハリ多様体分解を用いる。
• 濃縮・コンパクトネスの原理を用いて、λ → 0 の下での解の漸近的挙動を分析する。
• ℝ^N における制限問題の基底状態解のリスケーリングを用いてテスト関数を構成する。
• 一様なバウンディングを確立し、(PS)列の議論を用いて非自明な解への収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階ラプラシアン方程式が臨界非線形性および符号変化する重み関数を有する場合、十分に小さい λ > 0 に対して複数の正の解を有するか？
• RQ2 λ → 0 の下での解の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 非消える解の集中プロファイルは、ℝ^N におけるリスケーリングされた基底状態によって特徴付けられるか？
• RQ4 ネハリ多様体分解は、2つの異なる正の解を区別するためにどのように寄与するか？
• RQ5 符号変化する重み関数は、解の多重性にどのように寄与するか？

主な発見

• ある $ \lambda_* > 0 $ が存在し、すべての $ \lambda \in (0, \lambda_*) $ に対して、問題は少なくとも2つの正の解を有する。
• 1つの解は $ \|u_n^{(1)}\|_{H^{rac{\alpha}{2}}_0(\Omega)} \to 0 $ を満たし、λ_n → 0 の下で消える挙動を示す。
• 2番目の解は点 $ x_n \in \Omega $ に集中し、$ R_n \to \infty $ を満たし、ℝ^N における臨界問題のリスケーリングされた基底状態解に収束する。
• 集中プロファイルは $ R_n^{\frac{N-\alpha}{2}} u_0(R_n(x - x_n)) $ で与えられ、ここで $ u_0 $ は $ \mathbb{R}^N $ において $ (-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}} u = |u|^{2^*_\alpha - 2} u $ を満たす正の解である。
• 2番目の解のエネルギー汎関数は、分数階ソボレフ埋め込みにおける鋭い定数 $ \frac{\alpha}{2N} (\kappa_\alpha S(\alpha,N))^{\frac{N}{\alpha}} $ に収束する。
• 解の列 $ \{w_n^{(2)}\} $ は臨界レベルにおける (PS) 列をなすことが示され、適切なスケーリングの下でそのトレースはリスケーリングされた基底状態に収束する。