[論文レビュー] Multiplicity one theorems for symplectic groups

Binyong Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、p進体上のメタプレクティック群 ˜Sp(2n) の任意の真の不可約適切な滑らか表現 π と、任意の滑らかなオシレーター表現 ωψ に対して、テンソル積 π ⊗ ωψ が Sp(2n) の滑らかな表現として重複度自由であることを証明する。この結果は一般線型群およびユニタリ群へ拡張され、ガン＝グロス＝プラザドの枠組みを通じて、これらの群におけるフーリエ・ジャコビモデルの一意性が確立される。

ABSTRACT

Abstract. For every genuine irreducible admissible smooth representation π of the metaplectic group ˜ Sp(2n) over a p-adic field, and every smooth oscillator representation ωψ of ˜ Sp(2n), we prove that the tensor product π ⊗ ωψ is multiplicity free as a smooth representation of the symplectic group Sp(2n). Similar results are proved for general linear groups and unitary groups. As showed by Gan-Gross-Prasad, our results imply uniqueness of Fourier-Jacobi models for general linear groups, unitary groups, symplectic groups and metaplectic groups. 1. Introduction and

研究の動機と目的

• メタプレクティック群の真の不可約適切な滑らかな表現とオシレーター表現のテンソル積の重複度自由性を確立すること。
• これらの結果をp進体上の一般線型群およびユニタリ群へ拡張すること。
• 古典的群におけるフーリエ・ジャコビモデルの一意性の表現論的基盤を提供すること。
• 区別の可能な表現に関するガン＝グロス＝プラザドの予想を、メタプレクティック群および対称群へ一般化すること。
• theta対応および対称性の破れの文脈において、自動形式的および適切な表現の構造を統一すること。

提案手法

• p進体上の再帰的群の滑らかな表現および適切な表現の理論を用いる。
• メタプレクティック被覆 ˜Sp(2n) 及びその真の表現の枠組みを適用する。
• オシレーター表現 ωψ をテンソル積を構成する主要な要素として採用する。
• 重複度自由性と一意的モデルの存在との関係を結ぶためにガン＝グロス＝プラザドの枠組みを活用する。
• テンソル積への対称群 Sp(2n) の作用と、既約成分への分解を分析するために、対称群 Sp(2n) の構造を利用する。
• theta対応の理論および対称群におけるWhittakerモデルの一意性の文脈において、理論的根拠を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ˜Sp(2n) の真の不可約適切な滑らかな表現 π とオシレーター表現とのテンソル積は、Sp(2n) の滑らかな表現として重複度自由に保たれるか？
• RQ2 重複度自由性は、メタプレクティック群から一般線型群およびユニタリ群へ拡張可能か？
• RQ3 オシレーター表現は、フーリエ・ジャコビモデルの一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 ガン＝グロス＝プラザドの枠組みは、古典的群における重複度自由性と一意的モデルの存在とをどのように結びつけるか？
• RQ5 これらの結果は、p進表現論における区別の可能な表現の理論をどの程度一般化するか？

主な発見

• 任意の真の不可約適切な滑らかな表現 π と任意の滑らかなオシレーター表現 ωψ に対して、テンソル積 π ⊗ ωψ は、Sp(2n) の滑らかな表現として重複度自由である。
• 重複度自由性は、一般線型群およびユニタリ群に対しても成り立ち、結果は対称群に限らず拡張される。
• これらの結果は、一般線型群、ユニタリ群、対称群、およびメタプレクティック群におけるフーリエ・ジャコビモデルの一意性を示唆する。
• 証明は、メタプレクティック被覆の構造および対称群 Sp(2n) が表現のテンソル積に作用する仕組みに依存する。
• 枠組みは、一意的モデルの存在が、テンソル積の重複度自由な分解と同値であることを確認する。
• これらの結果は、古典的群の文脈におけるガン＝グロス＝プラザドの予想と整合的であり、それらを一般化する。