[論文レビュー] MULTIPLICITY RESULTS IN THE NON-COERCIVE CASE FOR AN ELLIPTIC PROBLEM WITH CRITICAL GROWTH IN THE GRADIENT

Colette De Coster, Louis Jeanjean|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、非強制的領域 $\lambda > 0$ において、臨界的勾配成長 $|\nabla u|^2$ を持つ非線形楕円型偏微分方程式に対して、多重解の存在を確立する。低次の項 $h(x)$ の符号に関する仮定を除去することで、$\lambda > 0$ の領域における解構造が $\lambda = 0$ における挙動に強く依存していることが明らかになり、$h$ が正または負であっても、$h$ とは符号が反対の解が存在することを示している。

ABSTRACT

Abstract. We consider the boundary value problem (Pλ) −∆u = λc(x)u+ µ(x)|∇u|2 + h(x), u ∈ H10 (Ω) ∩ L∞(Ω), where Ω ⊂ RN, N ≥ 3 is a bounded domain with smooth boundary. It is assumed that c 0, c, h belong to Lp(Ω) for some p> N. Also µ ∈ L∞(Ω) and µ ≥ µ1> 0 for some µ1 ∈ R. It is known that when λ ≤ 0, problem (Pλ) has at most one solution. In this paper we study, under various assumptions, the structure of the set of solutions of (Pλ) assuming that λ> 0. Our study unveils the rich structure of this problem. We show, in particular, that what happen for λ = 0 influences the set of solutions in all the half-space]0,+∞[×(H10 (Ω)∩ L∞(Ω)). Most of our results are valid without assuming that h has a sign. If we require h to have a sign, we observe that the set of solutions differs completely for h 0 and h 0. We also show when h has a sign that solutions not having this sign may exists. Some uniqueness results of signed solutions are also derived. The paper ends with a list of open problems. 1.

研究の動機と目的

• 非強制的低次の項 $\lambda c(x)u$ を持つ、2次勾配成長を有する非線形楕円型問題の解集合を解析すること。
• $\lambda > 0$ における解構造が $\lambda = 0$ における挙動にどのように影響を受けるかを調査すること。特に、$h$ が符号を変える場合に注目する。
• $h$ が厳密に正または負であっても、$h$ とは符号が反対の解が存在することを確立すること。
• $h$ に符号仮定を除去し、非強制的状況下で多重解および解構造が従来の知見をはるかに上回って豊かであることを示すこと。

提案手法

• 厳密な下解および上解（strict sub- and supersolutions）を用いて解作用素を構成し、位相的位相理論（degree theory）を適用する。
• 変形された問題に関連する解作用素に対してLeray-Schauder位相を適用し、有界集合内での解の存在を証明する。
• $C^1(\overline{\Omega})$ 上に固定点作用素 $\overline{\mathcal{M}}$ を構築し、境界値問題の解を求める。
• 強い最大原理を用いて内部極大値および極小値を除外し、下解と上解の間で厳密な順序関係を保証する。
• 位相の除去およびホモトピー不変性を用いて、元の作用素と変形された作用素の位相を関連付ける。
• 解集合のコンパクト性および有限交差性を用いて極値解を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $h$ に符号の仮定を置かない場合、臨界的勾配成長を有する楕円型問題の解集合は $\lambda > 0$ においてどのように振る舞うか？
• RQ2 $\lambda = 0$ における挙動は、半空間 $\lambda > 0$ における解構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 $h \gneqq 0$ または $h \lneqq 0$ であっても、$h$ とは符号が反対の解が存在するか？
• RQ4 $\lambda > 0$ かつ $\lambda c(x) \gneqq 0$ の条件下で、問題が複数の解をもつための条件は何か？
• RQ5 $h$ が正である場合と負である場合の解構造はどのように異なるか？また、それぞれの状況において、符号が反対の解が存在しうるか？

主な発見

• $\lambda > 0$ における解集合は、$\lambda > 0$ であるにもかかわらず、$\lambda = 0$ における挙動に強く依存している。
• $h \gneqq 0$ または $h \lneqq 0$ であっても、$h$ とは符号が反対の解が存在し、$h$ の符号が解の符号を完全に決定しないことが示された。
• 適切な条件下で、任意の下解 $\alpha$ および上解 $\beta$ に対して、区間 $[\alpha, \beta]$ 内に少なくとも一つの解が存在する。
• 解作用素は $C^1(\overline{\Omega})$ の有界球内に固定点をもち、Leray-Schauder 位相が 1 に等しいため、少なくとも一つの解が存在することが示された。
• 極値解は順序付き区間 $[\alpha, \beta]$ 内に存在し、解集合は $C^1(\overline{\Omega})$ 内でコンパクトである。
• 問題の変形によって解作用素の位相が保存されるため、位相理論を用いて解の存在および多重性を証明することが可能である。