[論文レビュー] Multiscale space-time ansatz for correlation functions of quantum systems based on quantics tensor trains

Hiroshi Shinaoka, Markus Wallerberger+5 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2022

Computational Physics and Python Applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子的相関関数のためのマルチスケール時空間アンザッツを、定量的テンソルトレイン（QTT）を用いて導入し、高次元量子系の効率的表現と計算を可能にする。相関関数を複数の長さスケールおよび時間スケールにわたってテンソルトレインに分解することにより、数個のオーダーの圧縮が達成され、平衡および非平衡設定下でのダイソン方程式およびベーテ＝サルピーター方程式の安定的かつ効率的な解法が可能になる。

ABSTRACT

Correlation functions of quantum systems -- central objects in quantum field theories -- are defined in high-dimensional space-time domains. Their numerical treatment thus suffers from the curse of dimensionality, which hinders the application of sophisticated many-body theories to interesting problems. Here, we propose a multi-scale space-time ansatz for correlation functions of quantum systems based on quantics tensor trains (QTT), ``qubits'' describing exponentially different length scales. The ansatz then assumes a separation of length scales by decomposing the resulting high-dimensional tensors into tensor trains (known also as matrix product states). We numerically verify the ansatz for various equilibrium and nonequilibrium systems and demonstrate compression rates of several orders of magnitude for challenging cases. Essential building blocks of diagrammatic equations, such as convolutions or Fourier transforms are formulated in the compressed form. We numerically demonstrate the stability and efficiency of the proposed methods for the Dyson and Bethe-Salpeter equations. {The QTT representation} provides a unified framework for implementing efficient computations of quantum field theories.

研究の動機と目的

• 空間的および時間的スケールにわたる量子相関関数を計算する際の次元の呪いに対処すること。
• テンソルネットワーク手法を用いて強相関する量子系を統一的に計算するフレームワークを開発すること。
• 畳み込みやフーリエ変換などの図式的方程式の数値的取り扱いを、圧縮されたテンソル形式で効率的に行えるようにすること。
• 平衡および非平衡量子多体系に対して、本手法の安定性とスケーラビリティを示すこと。
• 高次元相関関数の圧縮を著しく達成しつつ、精度を保持すること。

提案手法

• 本手法は、階層的な低ランク構造を活用して、複数の長さスケールおよび時間スケールにわたる相関関数を表すために定量的テンソルトレイン（QTT）を用いる。
• 相関関数をテンソルトレイン分解として定式化することで、空間的および時間的スケールの分離が可能になる。
• 畳み込みやフーリエ変換などの主要な演算を、QTT圧縮形式に再定式化することで、計算効率を維持する。
• 本手法は、実時間および虚時間領域におけるダイソン方程式およびベーテ＝サルピーター方程式の解法に適用される。
• QTT表現により、スケールに応じた適応的精錬が可能となり、重要領域における精度が向上する。
• 数値的実装では、計算コストを制御するための低ランク切り捨てを伴うテンソルトレインアルゴリズムが活用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチスケールテンソルネットワークアンザッツは、高次元量子相関関数を効果的に圧縮できるか？
• RQ2 QTTに基づく表現は、時空相関関数において顕著な圧縮を達成しつつ、精度をどのように維持するか？
• RQ3 畳み込みやフーリエ変換などの図式的演算は、圧縮されたQTT形式でどの程度効率的に実行できるか？
• RQ4 本手法は、平衡および非平衡量子多体系の両方に対して安定的かつスケーラブルか？
• RQ5 困難な相関関数に対して、QTTアンザッツは従来の手法に比べ、メモリおよび計算コストの面で優位性を示せるか？

主な発見

• QTTに基づくアンザッツは、困難な量子相関関数に対して数個のオーダーの圧縮率を達成する。
• 本手法により、数値誤差を制御しつつ、実時間および虚時間におけるダイソン方程式の安定的かつ効率的な解法が可能になる。
• 圧縮されたQTT表現を用いてベーテ＝サルピーター方程式が成功裏に解かれたことにより、非平衡状態でも高いロバストネスが示された。
• フーリエ変換および畳み込みがQTT形式で正確かつ効率的に実装され、マルチスケール構造が保持された。
• 本手法は、計算コストを低減させつつ、多様な量子場理論における相関関数の計算を統一的に行うフレームワークを提供する。
• 数値的結果により、強相関電子モデルを含むベンチマーク系において、本手法のスケーラビリティと精度が確認された。