[論文レビュー] Multivariate Analysis of Mixed Data. The R Package PCAmixdata

Marie Chavent, Vanessa Kuentz-Simonet+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Sensory Analysis and Statistical Methods参考文献 12被引用数 81

ひとこと要約

この論文は、主成分分析（PCA）と対応分析（MCA）を一般化特異値分解を用いて統一することで、数値変数とカテゴリカル変数を併用した混合データタイプの多変量解析を可能にするRパッケージPCAmixdataを紹介する。PCAmix, PCArot, MFAmixの3つの手法により、次元削減、回転、多表分析が一貫した表記法と解釈可能なグラフィカル出力で実現され、ギロンド地方の自治体データのような実世界のデータセットにも適用可能である。

ABSTRACT

Mixed data arise when observations are described by a mixture of numerical and categorical variables. The R package PCAmixdata extends to this type of data standard multivariate analysis methods which allow description, exploration and visualization of the data. The key techniques/methods included in the package are principal component analysis for mixed data (PCAmix), varimax-like orthogonal rotation for PCAmix, and multiple factor analysis for mixed multi-table data. This paper proposes a unified mathematical presentation of the different methods with common notations, as well as providing a summarised presentation of the three algorithms, with details to help the user understand graphical and numerical outputs of the corresponding R functions. This then allows the user to easily provide relevant interpretations of the results obtained. The three main methods are illustrated on a real dataset composed of four data tables characterizing living conditions in different municipalities in the Gironde region of southwest France.

研究の動機と目的

• PCA, MCAおよびその拡張手法の間で共通の表記法を用いて、混合データの多変量解析のための統一的数学的枠組みを提供すること。
• 実際のデータ解析に役立てるために、PCAmix, PCArot, MFAmixの3つの主要手法を1つのRパッケージに実装・文書化すること。
• 数値的出力とグラフィカル表現の詳細な解説を通じて、特に混合データタイプの結果の解釈性を高めること。
• S3メソッドを用いて、PCAmixおよびMFAmixにおける新しい観測値の予測および補助変数・グループの射影を可能にすること。
• 実世界の応用を支援するため、雇用、住宅、サービス、環境の変数を含むフランスの自治体からなる多表データセットgirondeを提供すること。

提案手法

• 一般化特異値分解（GSVD）を用いてPCAとMCAを統一し、PCAmixにおいて数値変数とカテゴリカル変数を同時に分析可能にする。
• 負荷量の分散を最大化することで解釈性を向上させる、varimaxに類似した直交回転（PCARot）をPCAmixの結果に適用する。
• 各グループに数値変数とカテゴリカル変数の両方を含めることが可能なようにMFAを拡張し、従来のMFAがグループ内に同質の変数タイプを要求するのとは異なる。
• 負荷量と変数寄与度に基づく角度計算を用いて、回転角度を反復的に最適化するアルゴリズムをPCARotに適用する。
• PCAmix, PCArot, MFAmixのオブジェクトクラスに対してS3メソッド（plot, predict, suppvar）を実装し、可視化、予測、補助変数の射影を支援する。
• 欠損値処理として、数値変数には平均値補完、カテゴリカル変数の指示変数行列にはゼロ補完を適用するが、より高度な手法も利用可能であると指摘する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PCAとMCAをどのように数学的に統一することで、混合数値・カテゴリカルデータを1つのフレームワーク内で分析できるか？
• RQ2 一般化特異値分解は、混合データタイプにおける次元削減をどのように可能にするか？
• RQ3 PCARot回転法は、標準的なPCAと比較して、PCAmixにおける成分負荷量の解釈性をどのように向上させるか？
• RQ4 MFAmixは、従来のMFAをどのように拡張して、混合変数を含むグループを許容するか？また、既存の多表手法とはどのような点で異なるか？
• RQ5 Rパッケージを用いて、PCAmixおよびMFAmixのマップに補助変数や新しい観測値をどのように意味的に射影できるか？

主な発見

• PCAmixの結果は、dudi.mix（ade4）およびFAMD（FactoMineR）と同等であり、混合データ解析の有効性を裏付ける。
• PCARot回転アルゴリズムは、負荷量の分散を最大化することで成分の解釈性を著しく向上させ、回転角度がゼロに達するまで収束することが確認された。
• MFAmix関数は、各グループに混合変数を含めることを可能にし、FactoMineRのMFAとは異なり、グループ内での変数タイプの均一性が不要である。
• 本パッケージは、新しい観測値の成分スコアの予測および補助変数・グループの射影を可能にし、PCAmixおよびMFAmixの分析の有用性を初期分析を超えて拡張する。
• 542自治体と4つの分野（雇用、住宅、サービス、環境）の27変数を含むgirondeデータセットは、社会学的・地理的データ解析における本手法の実用的適用性を示している。
• 先行研究の理論的修正がなされ、特にA*と˜Aの関係がA∗= M−1/2 ˜AからA∗= M1/2 ˜Aに修正され、フレームワークの数学的整合性が向上した。