[논문 리뷰] Multivariate Ranks and Quantiles using Optimal Transportation and Applications to Goodness-of-fit Testing

Promit Ghosal, Bodhisattva Sen|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 14.

Advanced Statistical Methods and Models참고 문헌 63인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 최적 운반 이론을 활용하여 다변량 순위와 분위수를 위한 새로운 프레임워크를 제안하며, 글리벤코-칸텔레 타입 정리에 의해 경험적 추정치의 균일 수렴성을 확립한다. 이는 두 표본 비교 및 통계적 독립성에 대한 비모수적 다변량 적합도 검정을 가능하게 하며, 분위수 사상에 대한 검증 가능한 조건 하에서 점차적 일致성이 입증된다.

ABSTRACT

In this paper we study multivariate ranks and quantiles, defined using the theory of optimal transportation, and build on the work of Chernozhukov et al. (2017) and del Barrio et al. (2018). We study the characterization, computation and properties of the multivariate rank and quantile functions and their empirical counterparts. We derive the uniform consistency of these empirical estimates to their population versions, under certain assumptions. In fact, we prove a Glivenko-Cantelli type theorem that shows the asymptotic stability of the empirical rank map in any direction. We provide easily verifiable sufficient conditions that guarantee the existence of a continuous and invertible population quantile map --- a crucial assumption for our main consistency result. We provide a framework to derive the local uniform rate of convergence of the estimated quantile and ranks functions and explicitly illustrate the technique in a special case. Further, we propose multivariate (nonparametric) goodness-of-fit tests --- a two-sample test and a test for mutual independence --- based on our notion of quantiles and ranks. Asymptotic consistency of these tests are also shown. Additionally, we derive many properties of (sub)-gradients of convex functions and their Legendre-Fenchel duals that may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 최적 운반 이론을 활용한 다변량 순위와 분위수에 대한 이론적으로 탄탄한 프레임워크를 개발하는 것.
• 경험적 순위 및 분위수 사상이 그들의 모수적 대응물에 대해 균일 수렴함을 확립하는 것.
• 연속적이고 가역적인 모수적 분위수 사상의 존재를 보장하는 검증 가능한 조건을 제공하는 것.
• 두 표본 비교 및 상호 독립성에 대한 다변량 적합도 검정을 구성하는 것.
• 추정된 분위수 및 순위 함수에 대한 국소 균일 수렴 속도를 유도하는 것.

제안 방법

• 균일 점수의 변환으로서 다변량 순위와 분위수를 정의하기 위해 최적 운반 사상을 활용한다.
• 구성에 필수적인 기울기와 하위기울기를 기술하기 위해 볼록 함수의 레지닉-펜첼 이중성 원리를 활용한다.
• 모든 방향에서 경험적 순위 사상의 균일 수렴을 증명하기 위해 글리벤코-칸텔레 타입 정리를 적용한다.
• 볼록 해석을 통해 분위수 사상의 연속성과 가역성에 필요한 충분조건을 도출한다.
• 두 가지 적합도 검정을 제안한다: 하나는 두 표본 비교를 위한 것이고, 다른 하나는 상호 독립성 검정을 위한 것으로, 모두 경험적 순위에 기반한다.
• 특정 파라미터 가족에 적용 가능한 일반적 프레임워크를 통해 국소 균일 수렴 속도를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 운반 이론을 활용하여 다변량 순위와 분위수를 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 모수적 분위수 사상이 존재하고 연속적이며 가역적인 조건은 무엇인가?
• RQ3 경험적 순위 및 분위수 사상이 그들의 모수적 대응물에 대해 균일 수렴하는 속도는 무엇인가?
• RQ4 이 프레임워크를 통해 점차적 일치성이 보장되는 비모수적 다변량 적합도 검정을 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 맥락에서 볼록 함수의 하위기울기와 레지닉-펜첼 이중성의 주요 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 경험적 순위 사상이 모든 방향에서 모수적 순위 사상으로 균일 수렴함을 입증하여 글리벤코-칸텔레 타입 결과를 확립한다.
• 연속적이고 가역적인 모수적 분위수 사상의 존재를 보장하는 충분조건이 제시되며, 이는 일관성에 핵심적이다.
• 추정된 분위수 및 순위 함수에 대한 국소 균일 수렴 속도가 도출되었으며, 특수한 경우에 대해 명시적인 계산이 가능하다.
• 제안된 두 표본 검정 및 독립성 검정은 귀무가설과 대립가설 하에서 점차적 일치성이 보장된다.
• 볼록 함수의 하위기울기와 레지닉-펜첼 이중성의 새로운 성질이 도출되었으며, 이는 볼록 해석 분야에서 별도의 관심을 끌 수 있다.
• 이 프레임워크는 모수적 분포 가정 없이도 다변량 설정에서 비모수적 추론을 가능하게 한다.