[論文レビュー] Mutation and the colored Jones polynomial

A. Stoimenow, T. Tanaka|ArXiv.org|Jul 31, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 42被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、色付きジョーンズ多項式（CJP）がすべての非変種超曲面的絡み目を区別できないことを示しており、同一のCJPをもつが変種でない無限に多くの絡み目のペアを明示的に構成している。ヴァシルエフ不変量と二重被覆の基本群の表現——特にGAPによる計算群論の支援を受けて——CJPが変種を検出できないことを示しており、超曲面的体積、HOMFLY、カウフマン、2-ケーブル多項式といった他の不変量と組み合わせても同様である。

ABSTRACT

We show examples of knots with the same polynomial invariants and hyperbolic volumes, with variously coinciding 2-cable polynomials and colored Jones polynomials, which are not mutants.

研究の動機と目的

• 色付きジョーンズ多項式（CJP）が非変種の絡み目を検出する普遍的不変量であるかどうかを調査すること。
• CJPに他の不変量を組み合わせた場合、すべての非変種の絡み目を区別できるかどうかを特定すること。
• 特に超曲面的絡み目において、CJPが変種を検出する能力に限界があることを探ること。
• 計算群論とヴァシルエフ不変量を用いて、同一のCJPをもつ絡み目を区別すること。
• 二重被覆の基本群が変種を検出する役割を検討すること。

提案手法

• スケイン理論とサテライト構成を用いて、同一の色付きジョーンズ多項式をもつ超曲面的絡み目の明示的ペアを構成すること。
• 絡み目の多項式から導かれるヴァシルエフ不変量を用いて、同一のCJPをもつ非変種ペアを検出すること。
• GAPを用いて、絡み目の群から有限群（例：PSL(2,7)、Alt(6)）への準同型を計算し、核のアーベル化を分析すること。
• 二重被覆構成を適用し、基本群の表現を分析して絡み目を区別すること。
• 超曲面的体積、HOMFLY、カウフマン、2ケーブルHOMFLY多項式といった不変量を、絡み目のペア間で比較すること。
• 特に高インデックス部分群に対し、Daniel Mateiの群論的手法を用いて、準同型の核のアーベル化を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 色付きジョーンズ多項式は、すべての非変種の超曲面的絡み目を区別できるか？
• RQ2 超曲面的体積、HOMFLY、カウフマン、2ケーブルHOMFLY多項式といった不変量の組み合わせが、CJPが同一の場合でも変種を検出できるか？
• RQ3 二重被覆の基本群は、同一のCJPをもつ非変種の絡み目を区別できるか？
• RQ4 AJ予想および体積予想に従い、CJPがA多項式やグロモフノルムを決定できるか？
• RQ5 ケーブル化多項式から導かれるヴァシルエフ不変量は、同一のCJPをもつ非変種の絡み目を検出できるか？

主な発見

• 同一の色付きジョーンズ多項式をもつが変種でない超曲面的絡み目の無限に多くのペアが存在する。
• 色付きジョーンズ多項式は、HOMFLY、カウフマン、およびそれらの2-サテライト多項式を決定しない。
• 超曲面的体積、二重被覆、2ケーブルHOMFLY多項式は、組み合わせてもCJPを決定しない。
• CJP、超曲面的体積、HOMFLY、カウフマン、および2サテライトまたは二重被覆の一致は、変種であるかどうかを決定しない。
• 例として(14_41721, 14_42125)および(15_148731, 15_156433)のようなペアでは、CJPは同一だが、核部分群のアーベル化が異なり、基本群は同型でないことが示されている。
• PSL(2,7)への準同型の核のアーベル化は、(14_41721, 14_42125)を区別する：一方の核には3- torsion があるが、他方はない。