[論文レビュー] Mutual k-Visibility in Graphs

Tonny K B, M. Shikhi|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2026

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ひとこと要約

私たちは古典的な相互可視性の許容度ベースの一般化として相互 k-可視性を導入し、相互 k-可視性数 μk(G) を定義し、基本的な性質と境界を導出し、いくつかのグラフクラスを研究し、相互 k-可視性集合を判定する多項式時間アルゴリズム MkV を提供し、ブロックグラフへ拡張して k-適合集合と相互 k-可視性被覆を定義する。

ABSTRACT

Mutual visibility in graphs requires pairs of vertices to be connected by shortest paths that avoid all other vertices of a prescribed set, a condition that is often overly restrictive. In this paper, we introduce a new variant, called mutual $k$-visibility, which permits at most $k$ internal vertices of the set to lie on a shortest path. This parameterized approach naturally generalizes classical mutual visibility and provides a graded notion of obstruction tolerance. We define the mutual $k$-visibility number $μ_k(G)$ of a graph $G$ and establish its basic properties, including monotonicity and stabilization for sufficiently large values of $k$. Some bounds on $μ_k(G)$ are obtained in terms of diameter, maximum degree, and girth. We further analyze $(X,k)$-visibility in convex graphs and determine exact values of $μ_k(G)$ for some fundamental graph classes. In addition, for block graphs, we introduce the notion of $k$-admissible sets in the associated block--cutpoint tree and show how these sets characterize mutual $k$-visibility in the original graph. Moreover, we present a polynomial-time algorithm, MkV, that decides whether a given subset $S \subseteq V(G)$ forms a mutual $k$-visibility set in $G$. The algorithm has time complexity $O\bigl(|S|(|V(G)|+|E(G)|)+|S|^2\bigr)$. In addition, we introduce strengthened variants-total, outer, and dual mutual $k$-visibility. We also define the mutual $k$-visibility covering number $τ_k(G)$, the minimum number of mutual $k$-visible sets required to partition $V(G)$, thereby extending the theory from extremal subsets to structural decompositions.

研究の動機と目的

• グラフにおける相互可視性の許容度ベースの一般化を動機づけ、最短経路上の内部頂点が最大 k 個まで遮られてもよいようにする。
• 相互 k-可視性数 μk(G) を定義し、大きな k に対する単調性と安定性を確立する。
• 直径、最大次数、半径を用いて μk(G) の境界を導出し、特定のグラフクラスを分析する。
• ブロック–分割点木を用いたブロックグラフの相互 k-可視性を特徴づけ、k-適合集合を導入する。
• 与えられた集合が相互 k-可視性集合かを判定する多項式時間アルゴリズム MkV を提示する。

提案手法

• （X,k）-可視性と相互 k-可視性集合を定義する。
• μk(G) は k に対して非減少であり、n、直径 diam(G)、および girth g によって有界であることを示す。
• ブロック–分割点木を用いてブロックグラフを導出し、μk(G) を特徴づけるために k-適合集合を導入する。
• 集合 S の相互 k-可視性を判定する時間計算量 O(|S|(|V|+|E|)+|S|^2) の多項式時間アルゴリズム MkV を提供する。
• ブロックグラフに対して μk(G) = max{|XZ| : Z は k-適合} を証明する。
• 総相互、外部相互、およびデュアル相互 k-可視性の概念を拡張し、相互 k-可視性被覆数 τk(G) を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般グラフにおける緩和された k-障害付き相互可視性を持つ部分集合の最大サイズはいくつか。
• RQ2 μk(G) は標準的なグラフパラメータである直径、最大次数、半径とどのように関連するか。
• RQ3 与えられた集合 S の相互 k-可視性を効率的に判定できるか、可能なら計算量はいくつか。
• RQ4 ブロック–分割点木を用いてブロックグラフを分析し、μk(G) および関連パラメータを特徴づけられるか。
• RQ5 相互 k-可視性の強化版と、それらが被覆によるグラフ分解へ与える影響は何か。

主な発見

• μk(G) は k に対して非減少であり、k ≥ diam(G) − 1 のときは |V(G)| に達する。
• μk(G) は n、直径 d、半径 g などを含む式で上界を持つ。例えば n−d+k+1 および n−g+2k+3 など。
• 一般的なクラスでは μk(G) の値が正確に決まる：μk(Pn) = min{n, k+2}, μk(Cn) = min{n, 2k+3}, μk(Km,n) = m+n （k ≥ 1 のとき）。
• ブロックグラフはブロック–分割点木を通じた k-適合集合による μk(G) の完全な特徴付けを可能にし、μk(G) = max{|XZ|: Z は k-適合} を与える。
• 与えられた集合 S が相互 k-可視性集合かを決定する多項式時間アルゴリズム MkV の実行時間は O(|S|(|V|+|E|)+|S|^2)。
• 本論文は総相互、外部相互、デュアル相互 k-可視性を強化版として導入し、τk(G) を相互 k-可視性被覆数として定義する。