[論文レビュー] Mutually complementary and compatible binary measurements on N qubits

W. E. Lawrence, Časlav Brukner+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2001

Quantum Information and Cryptography被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、N量子ビット上のすべての4^N − 1個のパウリ演算子積を、2^N + 1個の互いに可換な2値観測可能の集合に分割するフレームワークを導入する。各集合は一意な相互に unbiased な基底（MUB）を定義する。この構成により、ある基底に準備された状態は他のすべての基底で完全にランダムな結果を示し、2^N + 1個の完全な相互に unbiased な基底の集合が得られる。2量子ビットおよび3量子ビットの明確な例を通じて、エンタングルメントの性質が強調されている。

ABSTRACT

We define mutually complementary observable sets for N qubits via the operational requirement that a state with a definite outcome for one set of (commuting) binary observables must give completely random results in all other sets. The bases formed by the eigenvectors of such complementary sets are mutually unbiased. We prove that the full set of 4^N-1 Pauli operator products may be partitioned into 2^N+1 distinct sets, each set consisting of 2^N-1 internally commuting observables. Furthermore we prove that each such partitioning defines a unique choice of 2^N+1 mutually unbiased bases. Examples for 2 and 3 qubit systems are discussed with emphasis on the nature and amount of entanglement that occurs within these basis sets.

研究の動機と目的

• 1つの観測可能集合で明確な結果が得られる状態が、他のすべての集合で完全にランダムな結果を示すという操作的基準に基づき、N量子ビットにおける相互に補完的な2値測定を定義すること。
• 4^N − 1個のパウリ演算子積の全集合が、2^N + 1個の異なる集合に分割可能であり、それぞれが2^N − 1個の互いに可換な観測可能を含むことを証明すること。
• このような分割が、N量子ビットヒルベルト空間内での完全な相互に unbiased な基底（MUB）集合と一対一に対応することを確立すること。
• 特に2量子ビットおよび3量子ビット系におけるこれらのMUB内のエンタングルメント構造を分析し、補完的測定におけるエンタングルメントの役割を理解すること。

提案手法

• ある集合で明確な結果が得られる状態が、他のすべての集合で完全にランダムな結果を示すという操作的要請に基づき、相互に補完的な観測可能集合を定義する。
• 4^N − 1個のパウリ演算子積を、2^N + 1個の互いに素な集合に分割し、それぞれが2^N − 1個の互いに可換な2値観測可能からなる。
• 各可換集合の固有状態を用いて基底を構成し、それらの基底が互いに unbiased であることを証明する。
• パウリ群の代数的構造を活用して、各分割が一意に2^N + 1個の完全な相互に unbiased な基底集合を定義することを示す。
• 各基底の状態ベクトルのシュミットランクとエンタングルメントエントロピーを調べることで、基底状態内のエンタングルメント内容を分析する。
• 2および3量子ビットに対する明示的な構成と例を提示し、MUB内にエンタングルド状態が現れる様子を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N量子ビット上の4^N − 1個のパウリ演算子積の全集合は、2^N + 1個の互いに可換な2値観測可能からなる集合に分割可能か？
• RQ2 このような各分割が、一意に2^N + 1個の完全な相互に unbiased な基底集合を生成するか？
• RQ3 N = 2およびN = 3の場合に、これらの相互に unbiased な基底の基底状態に現れるエンタングルメントの性質と度合いは何か？
• RQ4 ある集合で明確な結果が得られる状態が、他のすべての集合で完全にランダムな結果を示すという操作的要請——すなわち最大の補完性——は、これらの基底の構造をどのように特徴付けるか？
• RQ5 パウリ群の積の代数的構造と、相互に unbiased な基底の構成との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• N量子ビット上の4^N − 1個のパウリ演算子積の全集合は、正確に2^N + 1個の集合に分割可能であり、それぞれが2^N − 1個の互いに可換な2値観測可能からなる。
• このような各分割は、N量子ビットヒルベルト空間内に2^N + 1個の完全な相互に unbiased な基底集合を一意に定義する。
• この構成により、ある基底に準備された状態が他のすべての基底で完全にランダムな結果を示すことが保証され、補完性の操作的基準を満たす。
• 2および3量子ビットの場合、基底状態にはエンタングルド状態が含まれており、集合内の異なる基底でエンタングルメントの度合いが変化する。
• この手法によって構成される相互に unbiased な基底の数は、これらの次元における既知の理論的上限と一致する。
• この手法は、パウリ群の対称性を用いて、N量子ビット系におけるすべての相互に unbiased な基底を体系的かつ代数的に生成する方法を提供する。