[論文レビュー] n-dimensional Fano varieties of wild representation type

Rosa M. Miró-Roig Joan Pons-Llopis|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、すべての n ≥ 2 に対して、最初に知られている n 次元 Fano 多様体の野生的表現型の例を構成する。具体的には、有限個の点での ℙⁿ の Fano ブlow-upである。直線束の直和間の全射的準同型の核の引き戻しを用いて、ランク r の単純かつ分解不能な ACM ベクトル束の族が構成され、その次元が r² に比例して増加することを示し、野生的表現型を確認する。n=2 のデル・ペッツォ表面の場合、これらの束は Ulrich であり、特定の極化に関して μ-安定であることが示される。

ABSTRACT

The aim of this work is to provide the first examples of $n$-dimensional varieties of wild representation type, for arbitrary $n\geq 2$. More precisely, we prove that all Fano blow-ups of $\PP^n$ at a finite number of points are of wild representation type exhibiting families of dimension of order $r^2$ of simple (hence, indecomposable) ACM rank $r$ vector bundles for any $r\geq n$. In the two dimensional case, the vector bundles that we construct are moreover Ulrich bundles and $μ$-stable with respect to certain ample divisor.

研究の動機と目的

• すべての n ≥ 2 に対して、n 次元 Fano 多様体の野生的表現型の最初の例を提供すること。
• 有限個の点での ℙⁿ の Fano ブローアップ上に、単純かつ分解不能な ACM ベクトル束の大きな族を構成すること。
• これらの族の次元が r の2乗に比例することを示し、野生的表現型を確認すること。
• デル・ペッツォ表面の場合（n=2）、構成された束が Ulrich 束であり、特定のアメーブルな除数に関して μ-安定であることの確立。
• セールの対応を用いて、これらの Ulrich 束が、所定の長さの 0 次元スキームから拡張列を介して得られることの証明。

提案手法

• 直線束の直和間の全射的準同型の核の引き戻しとして、ℙⁿ 上に ACM ベクトル束を構成する。
• 引き戻し構成を用いて、ℙⁿ から Fano ブローアップ X = Bl_Zℙⁿ への準同型を持ち上げ、ACM 性および単純性の性質を保つ。
• セールの対応を用いて、デル・ペッツォ表面上の Ulrich 束を、所定の長さの 0 次元スキーム Z に関連付ける。
• 理想層 I_{Z|X} の最小自由分解を解析し、このような束のモジュライ空間の次元を計算する。
• ヒルベルト多様体とグラスマン多様体に基づく次元数え上げの議論を用いて、束の族の次元を r² + 1 として計算する。
• 十分大きな n に対して、特定のアメーブルな除集合 H_n への制限の挙動を解析することで、μ-安定性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての n ≥ 2 に対して、n 次元 Fano 多様体の野生的表現型が存在するか？
• RQ2 有限個の点での ℙⁿ の Fano ブローアップ上に、ランク r の単純かつ分解不能な ACM ベクトル束の大きな族を構成できるか？
• RQ3 これらの族の次元が r² に比例するか？ これは野生的表現型を確認する。
• RQ4 デル・ペッツォ表面の場合、構成された束は Ulrich 条件を満たし、特定の極化に関して μ-安定性を示すか？
• RQ5 所定の長さの 0 次元スキームから、セールの対応を介して Ulrich 束の構成を回復できるか？

主な発見

• 任意の n ≥ 2 および r ≥ n に対して、ℙⁿ の有限個の点での Fano ブローアップは、ランク r の単純かつ分解不能な ACM ベクトル束の族を有し、n が偶数のとき次元は (n+2)n−44r²−cr+c²+1、n が奇数のとき ((n+2)n−4)r²−2cr+c²+1 である。
• n=2（デル・ペッツォ表面）の場合、構成された束はランク r の単純かつ分解不能な Ulrich ベクトル束の (r² + 1) 次元族を形成する。
• これらの Ulrich ベクトル束のチャーン類は、次数 d のデル・ペッツォ表面に対して c₁ = rH および c₂ = (dr² + (2−d)r)/2 である。
• 束は反 canonical 極化 H = −K_X に関して μ-半安定であり、十分大きな n に対して H_n = (n−3)e₀ + H に関して μ-安定である。
• 構成はセールの対応と整合する：Ulrich ベクトル束は、I_{Z|X}(rH) から 𝒪_X^{r−1} への拡張として得られる。ここで Z は長さ m(r) = (dr² + (2−d)r)/2 の 0 次元スキームである。
• ヒルベルト多様体とグラスマン多様体における次元数え上げにより、このような束のモジュライ空間の次元は r² + 1 として計算される。