[論文レビュー] (n,m)-Strongly Gorenstein Projective Modules

Driss Bennis|ArXiv.org|Jul 11, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、強いためのGorenstein射影的モジュールを一般化する二重にフィルターされたモジュールのクラス、$(n,m)$--strongly Gorenstein projectiveモジュールを導入し、その性質を研究する。モジュールのGorenstein射影的次元が高々$m$であるための必要十分条件は、あるGorenstein射影的モジュール$G$について$M \oplus G$が$(1,m)$-SG射影的であることであることを示し、有限左finitistic平坦次元をもつ環上で、有限Gorenstein射影的次元と有限平坦次元が同時に成り立つと有限射影的次元が成り立つことを証明する。

ABSTRACT

This paper is a continuation of the papers J. Pure Appl. Algebra, 210 (2007), 437--445 and J. Algebra Appl., 8 (2009), 219--227. Namely, we introduce and study a doubly filtered set of classes of modules of finite Gorenstein projective dimension, which are called $(n,m)$-strongly Gorenstein projective ($(n,m)$-SG-projective for short) for integers $n\geq 1$ and $m\geq 0$. We are mainly interested in studying syzygies of these modules. As consequences, we show that a module $M$ has Gorenstein projective dimension at most $m$ if and only if $M\oplus G$ is $(1,m)$-SG-projective for some Gorenstein projective module $G$. And, over rings of finite left finitistic flat dimension, that a module of finite Gorenstein projective dimension has finite projective dimension if and only if it has finite flat dimension.

研究の動機と目的

• $(n,m)$-strongly Gorenstein projectiveモジュールのクラスを、$n$-SG射影的モジュールの一般化として導入し、体系的に研究すること。
• Gorenstein射影的モジュールとの直和の$(1,m)$-SG射影性を用いて、有限Gorenstein射影的次元をもつモジュールを特徴付けること。
• 有限Gorenstein射影的次元をもつモジュールについて、有限平坦次元と有限射影的次元の関係を調査すること。
• $n$-SG射影的モジュールに関する結果を、より広範な$(n,m)$-フレームワークに拡張すること、特にfinitistic平坦次元との関係を含む。

提案手法

• 本稿では、$m$番目のシンジーガーが$n$-SG射影的であるようなモジュールとして、$(n,m)$-SG射影的モジュールを定義する。これは、射影的モジュールの完全系列と、射影的モジュール上での$\operatorname{Ext}$群の消滅を用いる。
• 完全射影的分解と、Gorenstein射影的モジュールがstrongly Gorenstein射影的モジュールの直和成分として表せることを特徴づける。
• 証明戦略は、$M$とGorenstein射影的モジュール$G'$の分解を組み合わせて完全系列を構成し、その後シンジーガーを解析することに依存する。
• 既存の研究（例：[3], [4]）における$n$-SG射影的モジュールに関する既知の結果を応用し、帰納法と次元比較を用いてそれらを拡張する。
• 環のfinitistic平坦次元を用いて、シンジーガーの平坦次元を有界化し、これにより有限射影的次元が導かれる。
• 多くの$(n,m)$-SG射影的モジュールに関する結果が、$(n,m)$-SGインジェクティブモジュールに対しても双対的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュール$M$がGorenstein射影的次元高々$m$であるのはいつか？
• RQ2 モジュール$M$がGorenstein射影的次元$\leq m$であることと、あるGorenstein射影的モジュール$G$について$M \oplus G$が$(1,m)$-SG射影的であることの正確な関係は何か？
• RQ3 有限Gorenstein射影的次元と有限平坦次元をもつモジュールが、なぜ有限射影的次元をもつのか、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 $(n,m)$-SG射影的モジュールの性質は、$n$-SG射影的モジュールのそれらをどのように一般化するか？
• RQ5 finitistic平坦次元は、有限Gorenstein射影的次元をもつモジュールの射影的次元を制御する役割を果たすか？

主な発見

• モジュール$M$がGorenstein射影的次元高々$m$であるための必要十分条件は、あるGorenstein射影的モジュール$G$について$M \oplus G$が$(1,m)$-SG射影的であることである。これは完全な特徴づけを確立する。
• 有限左finitistic平坦次元をもつ環上で、有限Gorenstein射影的次元をもつモジュールが有限射影的次元をもつための必要十分条件は、有限平坦次元をもつことである。
• $(n,m)$-SG射影的モジュールの$m$番目のシンジーガーは$(n,0)$-SG射影的であり、平坦次元が有限であればそのようなモジュールは射影的である。
• $(n,m)$-SG射影的モジュールのクラスは、$n$と$m$をインデックスとする明確な階層を持つ、$n$-SG射影的モジュールの自然な一般化である。
• $(n,m)$-SG射影的モジュールに関する結果は、$(n,m)$-SGインジェクティブモジュールに対しても双対的であるが、Corollary 2.9とProposition 2.10を除く。
• 分解と直和の構成により、Gorenstein射影的モジュールの性質を$(n,m)$-SG射影的モジュールの広いクラスへと移すことが可能である。