[論文レビュー] Naked Singularity formation in scalar field collapse

Rituparno Goswami, Pankaj S. Joshi|ArXiv.org|Oct 28, 2004

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非ゼロのポテンシャルを持つ球対称スカラー場の崩壊モデルのクラスを構築し、最終状態として裸の特異点を生じさせるとともに、弱エネルギー条件を満たす。マージンオブンド・フレリッドマン＝ロバートソン・ウォーカー計量と一般化されたバイディア外部空間へのマッチングを用いて、初期条件の非ゼロ測度の集合（特にポテンシャル指数 $ n < 2 $ の場合）において、捕獲表面が形成されず、特異点が可視のままであることを示した。これにより、動的スカラー場崩壊における宇宙的遮断仮説が破られる。

ABSTRACT

We construct here a class of collapsing scalar field models with a non-zero potential, which result in a naked singularity as collapse end state. The weak energy condition is satisfied by the collapsing configuration. It is shown that physically it is the rate of collapse that governs either the black hole or naked singularity formation as the final state for the dynamical evolution. It is seen that the cosmic censorship is violated in dynamical scalar field collapse.

研究の動機と目的

• スカラー場に非ゼロポテンシャルをもたせた重力的崩壊において、裸の特異点が形成可能かどうかを調査し、宇宙的遮断仮説に挑戦すること。
• 崩壊がブラックホールではなく裸の特異点へと至る初期条件を特定すること、特に崩壊速度の役割に注目すること。
• 崩壊全体を通じて弱エネルギー条件が満たされることを保証し、特異点付近での負の圧力にもかかわらず物理的妥当性を維持すること。
• 内部のスカラー場崩壊と一般化されたバイディア外部空間をマッチングすることで、完全な時空モデルを構築すること。境界条件の正則性と滑らかな時空の拡張を保証すること。

提案手法

• 球対称かつ一様なスカラー場 $ \Phi(t) $ とポテンシャル $ V(\Phi) $ を仮定し、$ k=0 $ のマージンオブンド・フレリッドマン＝ロバートソン・ウォーカー（FRW）計量が得られる。
• 単位 $ 8\pi G = c = 1 $ におけるアインシュタイン方程式を用い、エネルギー密度 $ \rho $、圧力 $ p $、質量関数 $ F $ を $ \rho = F'/(R^2 R') $、$ p = -\dot{F}/(R^2 \dot{R}) $、$ \dot{R}^2 = F/R $ で関連付ける。
• 弱エネルギー条件 $ \rho \geq 0 $、$ \rho + p \geq 0 $ を課し、すべての時的観測者に対してエネルギー密度が非負であり、密度と圧力の和が非負であることを保証する。
• スカラー場のダイナミクスを記述するため、クライン＝ゴルドン方程式 $ d/dt[a^3 \Phi] = -a^3 V_{,\Phi} $ を解き、崩壊条件 $ \dot{a} < 0 $ の下で扱う。
• 境界 $ r = r_b $ において内部のFRW計量と一般化されたバイディア外部時空をマッチングする。超曲面 $ \Sigma $ を超えて第一および第二基本形式（計量および外的曲率）の連続性を用いる。
• マッチング条件を導出：$ F(t,r_b) = 2M(r_v,v) $、$ (dv/dt)_\Sigma = (1 + r_b \dot{a}) / (1 - F/(r_b a)) $、$ M_{,r_v} = F/(2 r_b a) + r_b^2 a \ddot{a} $。これらは滑らかな時空の拡張とミンコフスキー時空への到達を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロポテンシャルを有するスカラー場崩壊が、どのような条件下でブラックホールではなく裸の特異点を形成するか？
• RQ2 弱エネルギー条件を満たしつつ、動的スカラー場崩壊において宇宙的遮断仮説が破られる可能性はあるか？
• RQ3 崩壊速度は、捕獲表面の形成と特異点の可視性にどのように影響するか？
• RQ4 ポテンシャルの関数的形（例：べき乗則 $ V \propto \Phi^n $）は、崩壊の最終状態にどのような役割を果たすか？
• RQ5 内部の崩壊スカラー場と一般化されたバイディア外部空間をマッチングすることで、完全な時空モデルを構築可能か？正則性を保ちつつ特異点の可視性を許容できるか？

主な発見

• ポテンシャルが $ V(\Phi) \propto \Phi^n $ のスカラー場のクラスにおいて、$ n < 2 $ のとき、裸の特異点が形成される。これは初期条件の非ゼロ測度の集合に対応する。
• $ n < 2 $ の場合、$ F < R $ が常に成り立つため、崩壊中に捕獲表面は形成されず、特異点は可視のままである。
• 特異点付近での負の圧力にもかかわらず、エネルギー密度 $ \rho \geq 0 $ および $ \rho + p \geq 0 $ が崩壊全体で満たされ、弱エネルギー条件が満たされている。
• 外部時空は特異点でミンコフスキー時空へ滑らかに拡張され、一般化されたバイディア計量が $ r_v \to 0 $ でミンコフスキー形式に還元されることから、捕獲領域が存在しないことが確認された。
• 非時空的軌跡（光線軌道を含む）が特異点から発生するため、特異点の裸の性質が確認され、宇宙的遮断仮説が破られる。
• モデルは完全かつ物理的に整合的であり、境界 $ \Sigma $ における第一および第二基本形式の滑らかなマッチングにより、時空構造全体の正則性が保証されている。