[論文レビュー] Navier-Stokes Equation on the Rectangle

Sérgio S. Rodrigues|ArXiv.org|Apr 15, 2005

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界に無滑りおよび接線条件を課した長方形上における2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のL2近似可制御性を、低周波数モードに作用する有限次元制御を用いて確立する。弱解および強解の存在、一意性、初期データに対する連続的依存性を証明し、ネストされた有限次元部分空間における制御の反復的近似によって、十分に長い時間区間内に、L2ノルムで任意の目標状態に任意に近づけることができることを示す。この際、スペクトル法および平均化技術を用いて高周波数振動を制御する。

ABSTRACT

We study controllability issues for the Navier-Stokes Equation on a two dimensional rectangle with so-called Lions boundary conditions. Rewriting the Equation using a basis of harmonic functions we arrive to an infinite-dimensional system of ODEs. Methods of Geometric/Lie Algebraic Control Theory are used to prove controllability by means of low modes forcing of finite-dimensional Galerkin approximations of that system. Proving the continuity of the ``control $\mapsto$ solution'' map in the so-called relaxation metric we use it to prove both solid controllability on observed component and $\mathbf L^2$-approximate controllability of the Equation (full system) by low modes forcing.

研究の動機と目的

• 長方形領域における無滑りおよび接線境界条件を満たす2次元ナビエ＝ストークス方程式の弱解および強解の存在、一意性、初期データに対する連続的依存性を確立すること。
• 低周波数モードに作用する有限次元制御を用いた、ガラーキン近似におけるナビエ＝ストークス系の可制御性を調査すること。
• 有限次元部分空間に支持される制御を用いて、H内の任意の目標状態がL2ノルムで任意に近づけることのできる、完全系のナビエ＝ストークス系のL2近似可制御性を証明すること。
• FCE（要因分解－凸化－抽出）法および後退帰納法に基づく、高周波数制御を低周波数制御で逐次近似する構成的手順の開発

提案手法

• 境界に法線速度ゼロおよび接線速度を課す混合境界条件を備えた長方形上におけるナビエ＝ストークス系の定式化：H（発散なしL2ベクトル場）およびV（境界条件を満たす発散なしH1ベクトル場）の空間を用いる。
• 関数解析的道具の適用：ポンティャーゴリン不等式、同値ノルム、およびストークス作用素の固有関数におけるフーリエ級数展開を用いて、HおよびVを特徴付ける。
• 弱形式におけるナビエ＝ストークス方程式の内積表現を可能にするために、作用素A（ストークス作用素）およびB（非線形三重積形）を導入する。
• Hの有限次元部分空間におけるガラーキン近似を用いて偏微分方程式を常微分方程式系に還元し、これらの近似解の存在および一意性を証明する。
• FCE手順（要因分解、凸化、抽出）を用いて、高周波数制御の効果を再現する低次元部分空間における制御を構成する。
• 平均化技術および急速に変動する項の推定（cos(2wt)の積分を用いて）を用い、時間区間全体にわたる誤差伝播を制御し、高周波数誤差がw−1のオーダーで減少することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長方形上における2次元ナビエ＝ストークス方程式が、無滑りおよび接線境界条件を満たす場合、初期データに対して連続的に依存する一意な弱解および強解が存在するか？
• RQ2 低周波数モードに作用する有限個の制御のみを用いて、完全なナビエ＝ストークス系の近似可制御性を達成できるか？
• RQ3 高周波数制御の効果を模倣する低次元部分空間における制御を、体系的かつ逐次的に構成する方法は何か？ また、その方法により、望ましい状態への収束を保証できるか？
• RQ4 高周波数振動は制御近似にどのような役割を果たすか？ その影響は定量的に評価可能か？

主な発見

• HおよびVの空間におけるエネルギー推定およびポンティャーゴリン型不等式を用いて、長方形上におけるナビエ＝ストークス系は、初期データに対して連続的に依存する一意な弱解および強解を有する。
• 制御集合が生成するベクトル場のリー代数を全カバーする場合、有限次元部分空間におけるガラーキン近似は正確に可制御である。これは、全リー階数条件を満たすことを意味する。
• 高周波数制御を低周波数制御で近似する際に生じる誤差は、振動周波数wの逆数に比例して減少する（w−1）。この性質により、ネストされた部分空間の系列における反復的制御構築が可能となる。
• 部分空間RκM, RκM−1, ..., Rκ1における制御を逐次的に模倣することで、任意の目標状態x1 ∈ Hに対してεの誤差内にシステムを誘導可能であり、総誤差はεに関する幾何級数で有界である。
• 任意のT > 0に対して、システムの到達可能集合はHにおいて稠密である。これは、L2近似可制御性を示しており、システムはL2ノルムで任意の目標状態に任意に近づけることができる。
• 制御構築はロバストである：Tが直接制御に十分でない場合でも、まず任意の制御を適用して新たな初期状態に到達し、その後より長い時間区間T1を用いて望ましい近似を達成できる。