[論文レビュー] Near-Optimal Lower Bounds on the Threshold Degree and Sign-Rank of AC^0

Alexander A. Sherstov, Pei Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 55被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の β > 0 に対して、閾値次数 Ω(n¹⁻ᵝ) および符号ランク exp(Ω(n¹⁻ᵝ)) を持つ明示的な AC⁰ サーキットを構築することにより、AC⁰ サーキットの閾値次数および符号ランクに対する近似的に最良の下界を確立する。この手法は、局所的に滑らかな分布と双対多項式に基づく新しい増幅技術を用い、従来の境界を著しく改善し、特に深さ 4 以降においてすべての既存の結果を包含する。

ABSTRACT

The communication class UPP^{cc} is a communication analog of the Turing Machine complexity class PP. It is characterized by a matrix-analytic complexity measure called sign-rank (also called dimension complexity), and is essentially the most powerful communication class against which we know how to prove lower bounds. For a communication problem f, let f wedge f denote the function that evaluates f on two disjoint inputs and outputs the AND of the results. We exhibit a communication problem f with UPP^{cc}(f)= O(log n), and UPP^{cc}(f wedge f) = Theta(log^2 n). This is the first result showing that UPP communication complexity can increase by more than a constant factor under intersection. We view this as a first step toward showing that UPP^{cc}, the class of problems with polylogarithmic-cost UPP communication protocols, is not closed under intersection. Our result shows that the function class consisting of intersections of two majorities on n bits has dimension complexity n^{Omega(log n)}. This matches an upper bound of (Klivans, O'Donnell, and Servedio, FOCS 2002), who used it to give a quasipolynomial time algorithm for PAC learning intersections of polylogarithmically many majorities. Hence, fundamentally new techniques will be needed to learn this class of functions in polynomial time.

研究の動機と目的

• 定数深さの回路（AC⁰）が達成可能な最大の閾値次数および符号ランクを特定する長年の未解決問題を解消すること。
• 従来の最良の下界である √n に対する閾値次数の Ω(√n) および exp(˜Ω(√n)) に対する符号ランクの下界を改善すること。
• AC⁰ における閾値次数、符号ランク、不一致、閾値重み、閾値密度に関するすべての先行研究を包含し、かつそれを厳密に改善する統一的枠組みを提供すること。
• AC⁰ サーキットの無限誤差通信複雑度に対してタイトな境界を確立すること。

提案手法

• シフトされた積分布を用いて、多重パリティ関数（MP）の有界な双対多項式を構築する。
• 符号表現を保持しつつ、閾値次数を増幅する新しい入力変換を導入する。
• 入力分布の局所的滑らかさ条件を定義し、質量の制御された移動と双対多項式の構築を可能にする。
• 低次の双対多項式を高次のものに高めるためのハードネス増幅定理を適用する。
• フォスターの定理とスペクトルノルムの境界を活用し、滑らかな閾値次数を符号ランクの下界に拡張する。
• 制御されたファンインをもつ OR および AND ゲートの再帰的合成を用いて、所望の複雑度特性を持つ明示的な AC⁰ サーキットを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数深さの AC⁰ サーキットが達成可能な最大の閾値次数は何か、入力サイズに従ってどのようにスケーリングされるか？
• RQ2 AC⁰ サーキットの最大符号ランクは何か、通信複雑度とどのように関係するか？
• RQ3 既存の閾値次数および符号ランクの下界は、AC⁰ のすべての深さにおいて体系的に改善・統合可能か？
• RQ4 AC⁰ サーキットの文脈において、閾値次数、符号ランク、不一致の関係は何か？
• RQ5 明示的な AC⁰ サーキットの構築により、近的に最良の閾値次数および符号ランクを達成可能か？

主な発見

• 任意の ǫ > 0 に対して、β = ǫ とすると、本稿は閾値次数 Ω(n¹⁻ᵝ) および符号ランク exp(Ω(n¹⁻ᵝ)) を持つ AC⁰ サーキットを構築し、近的に最良の性能を達成する。
• 深さ 4 以降において、従来の境界を厳密に改善し、すべての先行結果を包含する。
• 深さ 3k の AC⁰ サーキットの符号ランクが、exp(Ω(n¹⁻¹ᐟᵏ⁺¹ · (log n)⁻ᵏ⁽ᵏ⁻¹⁾ᐟ²⁽ᵏ⁺¹⁾)) であることが示され、既知の最良の下界と一致する。
• AC⁰ サーキットの無限誤差通信複雑度は、Ω(n¹⁻¹ᐟᵏ⁺¹ · (log n)⁻ᵏ⁽ᵏ⁻¹⁾ᐟ²⁽ᵏ⁺¹⁾) で下界が与えられ、符号ランクの下界と一致する。
• 本結果により、AC⁰ サーキットにおける不一致、閾値重み、閾値密度についても近的に最良の境界が得られる。
• 本フレームワークにより、明示的かつ深さ構造に適合した AC⁰ サーキットの構築が可能となり、証明可能な高い閾値次数および符号ランクを有する。これにより、長年の未解決問題が解決された。