[論文レビュー] Near-term quantum algorithms for linear systems of equations

Hsin-Yuan Huang, Kishor Bharti+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 58

ひとこと要約

本論はAx=bを解くための近期量子アルゴリズムを研究し、解を保証するためのAnsatz treeを備えた古典的Variational Quantum Statesの組み合わせ(CQS)を導入し、変分的景観と潜在的なプレートを探る。

ABSTRACT

Solving linear systems of equations is essential for many problems in science and technology, including problems in machine learning. Existing quantum algorithms have demonstrated the potential for large speedups, but the required quantum resources are not immediately available on near-term quantum devices. In this work, we study near-term quantum algorithms for linear systems of equations of the form $Ax = b$. We investigate the use of variational algorithms and analyze their optimization landscapes. There exist types of linear systems for which variational algorithms designed to avoid barren plateaus, such as properly-initialized imaginary time evolution and adiabatic-inspired optimization, suffer from a different plateau problem. To circumvent this issue, we design near-term algorithms based on a core idea: the classical combination of variational quantum states (CQS). We exhibit several provable guarantees for these algorithms, supported by the representation of the linear system on a so-called Ansatz tree. The CQS approach and the Ansatz tree also admit the systematic application of heuristic approaches, including a gradient-based search. We have conducted numerical experiments solving linear systems as large as $2^{300} imes 2^{300}$ by considering cases where we can simulate the quantum algorithm efficiently on a classical computer. These experiments demonstrate the algorithms' ability to scale to system sizes within reach in near-term quantum devices of about $100$-$300$ qubits.

研究の動機と目的

• 実用的な近期量子計算タスクとして線形系を解く動機付け。
• Ax=bに対する変分量子アルゴリズムとその最適化ランドスケープを評価する。
• 変分アプローチにおけるプレート現象を特定し、対処法としてCQSフレームワークを提案する。
• Ansatz treeの概念を導入し、特定の条件の下で解の回復を保証することを証明する。
• 大規模な有効系サイズに関する数値シミュレーションを通じてスケーラビリティを示し、既存の量子手法と比較する。

提案手法

• 基本的な変分アルゴリズムと2つのAnsatzを分析する：Agnostic（ハードウェア効率的）とAlternating Operator（A−およびA+b依存）Ansatz。
• 損失関数を定義する：L_R(x)=||Ax-|b>||^2, L_T(x)=1/2||x||^2+||Ax-|b>||^2、構築されたH(1)を含むハミルトニアンベースの損失L_H(|x>)。
• 最適化戦略を検討する：VQE、虚時間伝播、アディアバティック風最適化（AAVQE）。
• 古典的なVariational Quantum Statesの組み合わせ(CQS)とAnsatz treeを導入し、解のカバレッジを向上させるために量子状態を古典的に結合する。
• Ansatz treeを剪定・拡張する勾配展開ヒューリスティックを提供する。
• CQSフレームワークが証明可能な保証をもたらすことと、チカーノン回帰（Tikhonov正則化回帰）との関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実用的に大規模で構造化された線形系に対して、近期量子デバイスはAx=bを効率的に解けるのか？
• RQ2 Ax=bに対する変分ランドスケープはNISQハードウェアでの最適化を妨げる痩せたプレートや他の平坦な領域を示すのか？
• RQ3 複数の変分状態を古典的に結合する(CQS)とAnsatz treeを組み合わせることは、標準的なVQEアプローチより保証と実用的な利点を提供するのか？
• RQ4 与えられた仮定の下でAとbの真の解を回復する際のCQS/Ansatz-treeアプローチの保証と限界は何か？
• RQ5 これらの手法は実際に大きな有効系サイズにどのようにスケールし、既存の量子線形系アプローチとどのように比較されるのか？

主な発見

• 変分アプローチは特定の構造化された線形系に対してプレート状の最適化ランドスケープに直面し、標準的なAnsatzでは進展を妨げる可能性がある。
• 適切に初期化された虚時間進化とアディアバティック風の最適化は普遍的にプレート問題を解決しない。別の道が必要。
• 古典的なVariational Quantum Statesの組み合わせ(CQS)とAnsatz treeは、証明可能な保証を提供し、勾配ベースのヒューリスティックで有用な状態の組み合わせを選択できる。
• 数値実験では、2^300 × 2^300の線形システムの解を古典シミュレーションで模擬し、約100–300量子ビットの近期デバイスへのスケーラビリティの可能性を示しています。
• CQSのバリエーションは既存の量子アルゴリズムと同様の証明可能な保証を達成しつつ、ゲート数を最大で1/ε倍に削減し、 ancilla量子ビットを1つのみ使用する。
• このフレームワークは、勾配展開および関連手法を用いたAnsatz treeのヒューリスティックな剪定/拡張を体系的に許す。